两类离散周期矩阵方程的解及其应用

Discrete periodic coupled matrix equations and discrete periodic regulator matrix equations are two types of matrix equations with great importance in control theory, as they include many matrix equations as their special forms. This program plans to explore the solutions to the two types of matrix equations and their applications in the analysis and design of control systems. Its main contents include: (1) parametric solutions and finite iterative solutions to discrete periodic coupled matrix equations; (2) parametric solutions and finite iterative solutions to discrete periodic regulator matrix equations; (3) Stability analysis for discrete jump linear systems with Markovian transitions, roubst pole assignment for discrete linear second-order periodic systems and other related problems.

周期耦合矩阵方程和周期调节矩阵方程是控制理论中非常重要的两类方程，它们分别涵盖了很多矩阵方程作为它们的特例。本项目拟研究这两类方程的求解问题以及它们在控制系统分析和设计中的应用。主要内容包括：(1) 周期耦合矩阵方程的参数化解和有限迭代解；(2) 周期调节矩阵方程的参数化解和有限迭代解；(3) 带有Markovian变换的离散线性跳变系统的稳定性分析，线性二阶周期系统的鲁棒极点配置和其它相关控制问题。

线性周期系统适用于大部分具有周期属性的模型，比如钟摆、直升飞机、卫星姿态、航天器交会对接控制，多级速度数字滤波器和滤波器组等。此外，当采用线性时不变反馈控制律不凑效时，线性周期反馈控制律则能够实现控制目的，并改善系统性能。因此，线性周期时变系统是一类非常重要的系统。而周期矩阵方程的求解对于线性周期系统的分析和设计有着重要的作用。本课题研究了两类周期矩阵方程的求解及应用，其主要内容和成果如下：.第一，研究了两类周期矩阵方程的求解问题。通过设计新的迭代步长，基于共轭梯度方法，把用于求解时不变方程的算法推广到了时变领域，给出了新的有限迭代算法。经过理论推导与数值算例的仿真验证，所提出的算法可以在任意初始条件下在有限步内收敛到方程的精确解。进一步，将迭代算法应用到LDP系统的周期状态反馈极点配置和鲁棒观测器设计中，分别给出了相应的鲁棒控制器和鲁棒观测器设计算法。最后，将周期控制算法应用于航天器的交会对接控制，取得了满意的控制效果。.第二，研究了广义周期耦合Sylvester矩阵方程的求解问题。给出了这类耦合矩阵方程组的解存在的充分必要条件。在满足有解条件时，首先考虑了两个方程耦合的情况，基于共轭梯度思想，设计了迭代步长，给出了求解此类矩阵方程的数值算法。然后根据这一思想，采用类似的推导方法，处理了多个Sylvester矩阵方程耦合的情况，设计了有限迭代算法。最后利用数值算例展示了所提出算法的正确性与有效性。.第三，研究了二阶线性周期系统的极点配置问题。结合离散周期调节矩阵方程求解的研究成果，采用周期比例加微分反馈对二阶线性离散周期系统极点配置问题进行了研究。首先把问题转化为某种特定形式的周期矩阵的求解问题，然后通过循环提升技术，把该周期方程转化为线性时不变（LTI）方程，并通过参数化方法给出了相应LTI方程的解，进而给出了周期比例加微分反馈的相应反馈增益。并进一步给出了二阶线性周期系统极点配置的鲁棒性能。所设计算法的有效性经过了仿真实例进行了验证。