两类非线性矩阵方程解的研究与应用

In this project, a class of nonlinear matrix equation arising from Green's function approach for treating quantum transport in nano devices and a class of Yang-Baxter matrix equation are studied. For the first class equation, one is mainly interested in those values of the parameter for which the matrix equation has no stabilizing solutions. The solution of interest in this case is a special weakly stabilizing complex symmetric solution. How to compute the solution and how to construct high precision numerical algorithm are the focus of research in this project. The property of the solution will be analyzed. The estimation of the solution interval and the perturbation analysis will be established. This project will help to further enrich and expand the theory and algorithms of the nonlinear matrix equation problem more systematic and deepen. ..In physics, the Yang–Baxter equation is a consistency equation which was first introduced in the field of statistical mechanics. The matrix equation AXA=XAX is called here the Yang–Baxter matrix equation since it is similar in format to the one in the parameter-free Yang–Baxter equation. This project will be systematic and in depth solve the numerical solutions of the Yang—Baxter matrix equation. The perturbation analysis and convergence analysis will be established.

本项目研究一类基于格林函数方法处理纳米器件的量子输运的非线性矩阵方程和一类杨—巴克斯特矩阵方程。对于第一类方程，由于参数的变化会导致矩阵方程没有稳定的解，在这种情况下感兴趣的解是有一个特殊的弱稳定复对称解。如何找到这个解、如何创建高精度数值算法将是本项目的研究重点。同时将刻画解的特性、解区间估计以及解的扰动分析。这将使这类非线性矩阵方程的理论和算法研究更为系统和深入。..在物理学中，杨-巴克斯特方程是首个引入统计力学领域的相容方程。简化后的自由参数的杨-巴克斯特方程AXA=XAX叫做杨-巴克斯特矩阵方程。本项目将系统、深入地解决杨-巴克斯特矩阵方程的数值求解问题，并给出扰动分析和收敛性分析。

本项目研究一类基于格林函数方法处理纳米器件的量子输运的非线性矩阵方程和一类Yang-Baxter矩阵方程.对于第一类方程,给出了方程正定解的特征值和的上下界估计;正定解的等价性条件.对系数矩阵为不可对角化的初等矩阵的Yang-Baxter矩阵方程AXA=XAX进行了系统分析,得到了方程的所有解.在矩阵A满足A^4=A的情况下,通过特征多项式及其特征值,给出了矩阵方程的一些解.令A是一个指数为2的幂零矩阵,首先将A用它的Jordan标准型替换得到一个更简单的同类型二次矩阵方程,其中A的Jordan块最多是2×2块的．然后得到了AXA=XAX的所有反交换解．最后,得到了一系列小规模矩阵方程系统,当A是秩1和秩2时,给出了方程的所有解.通过A的Jordan块结构,得到了系数矩阵为一个具有三个不同特征值的奇异可对角化矩阵的Yang-Baxter矩阵方程的所有解.给定m个实系数多项式f_1,f_2,…,f_m及一个实零点z,研究如何计算一个离给定多项式组距离最近同时满足以z为零点的多项式f.提出了一种基于耦合系统的自适应多级迭代方法,该方法为求解不适定积分方程提供了快速有效的算法.基于L^2空间的正交投影,提出了一种计算一维映射绝对连续不变测度的二次样条逼近方法.