二阶锥双层规划的理论与算法研究

Robust optimization is an effective method for dealing with the optimization problems under uncertainty. When there is uncertainty in the lower level optimization problem of a bilevel programming, it can be formulated by a robust optimization method as a bilevel programming problem having second-order cone programming as its lower level problem, i.e., a second-order cone bilevel programming problem. There have been rare works to deal with second-order cone bilevel programming, in spite of its significance. Thus this problem and its solution will enrich the theories and research contents of mathematical programming. Our research project aims to study the theories and algorithms of second-order cone bilevel programming. The main research contents are summarized as follows. (1) We establish the basic mathematics models of second-order cone bilevel programming, and then propose some basic concepts, such as constraint region, rational reaction set, induced region. (2) We make a systematic study of the fundamental theories of second-order cone bilevel programming, such as the feasibility conditions, the constraint qualification conditions, the optimality conditions. (3) Some feasible and efficient algorithms are proposed to solve second-order cone bilevel programming, and then the related theoretical analysis and numerical experiments are also given. The research of our project has important significance in both theory and practice.

鲁棒优化是求解不确定性优化问题的一种有效方法。当双层规划问题的下层规划存在不确定性时，运用鲁棒优化方法可转化成下层规划为二阶锥规划上的双层规划问题，即一个二阶锥双层规划问题。目前关于二阶锥双层规划问题鲜有研究，该问题的提出和解决将会丰富数学规划的理论和研究内容。本项目旨在探讨二阶锥双层规划的理论和算法，主要研究内容如下：(1) 建立二阶锥双层规划的基本数学模型，并给出二阶锥双层规划的基本概念，如约束域、诱导域和理性反应集等。(2) 系统研究二阶锥双层规划的基本理论，如可行性条件、约束规范条件和最优性条件等。(3) 设计求解二阶锥双层规划问题的可行有效算法，并进行相关理论分析和数值实验。本项目的研究具有重要的理论意义和应用价值。

鲁棒优化是求解不确定性优化问题的一种有效方法。当双层规划的下层优化问题存在不确定性时，运用鲁棒优化方法可转化成一个二阶锥双层规划问题。本项目主要研究了二阶锥双层规划问题的理论与算法，具体内容如下：. (1) 研究了二阶锥双层规划的基本理论。探讨了二阶锥双层规划的数学模型，并给出了基本概念，如广义Slater条件，局部最优解，及全局最优解等；运用下层问题的最优性条件，将二阶锥双层规划转化成二阶锥互补约束数学规划问题，即一个单层二阶锥优化问题；在适当的条件下，证明了一类二阶锥双层规划的下层问题的拉格朗日乘子集值映射是上半连续的；并基于此探讨了该类二阶锥双层规划问题的最优解与其对应二阶锥互补约束数学规划问题的最优解之间的关系；在适当的假设下，证明了若二阶充分条件在某 M-稳定点处成立，则二阶增长条件成立，从而该 M-稳定点是原二阶锥双层规划问题的局部最优解等。. (2) 给出了求解二阶锥优化问题的可行有效算法，如幂罚函数法、光滑牛顿法和填充函数法等。讨论了二阶锥互补函数的光滑函数的雅可比相容性，这在二阶锥优化的光滑方法的快速收敛性分析中起着重要作用；运用非光滑分析和欧几里得约当代数等理论，对算法进行了适定性分析，全局收敛性分析或局部二阶(超线性)收敛性分析等；并进行数值实验，验证了算法的有效性。. 作为一个新的研究课题，二阶锥双层规划的研究具有重要的科学意义和应用前景。本项目的研究更加丰富了数学规划的研究内容、理论和算法等；并可有效解决运用鲁棒优化方法处理某些双层规划的下层规划存在不确定性的问题，特别地，鲁棒优化中参数的最坏情况值在处理带有不确定数据的实际问题中非常重要，如危险作业的事故预防可避免爆炸等灾难，或避免金融领域期货交易等衍生产品的大规模增长所带来的风险等。