几何中非线性方程紧性与奇点的研究

非线性方程解的紧性与奇点研究是几何分析与非线性分析中的重要课题。在本项目中，计划研究调和映照的紧性、调和映照、热流以及平均曲率流的奇点。丁伟岳与田刚合作证明2维逼近调和映照列的张量场在L2中有界，则有能量等式成立。我们计划研究一般的情况。能量极小映照的奇点已经清楚，我们计划研究稳定调和映照的奇点。我们计划研究一类热流的重要奇点，拟调和球面，它的不存在性将导出热流的长时间存在性。在辛平均曲率流和拉格郎日平均曲率流方面我们已经取得了重要研究成果，我们计划继续深入研究，特别是研究第二类奇点的性质。

在本项目中，我们研究了非线性方程解的紧性与奇点性质。丁伟岳与田刚合作证明2维逼近调和映照列的张量场在L2中有界，则有能量等式成立。我们证明，张量场在Lp（p>6/5)时结果仍然成立，特别地，如果靶流形是球面，张量场在L log L中有界，能量等式就成立。我们研究了辛平均曲率流第二类奇点的性质。在复射影空间中我们发现了辛平均曲率流长时间存在及收敛的条件。我们发现，外围空间不需要是Kahler-Einstein曲面，只要是几乎Kahler-Einstein曲面，甚至于，只要外围空间沿着Kahler-Ricci流运动，已知的辛平均曲率流结果依然成立。我们研究了Yang-Mills-Higgs流在无穷远处的性态，证明了Kobayashi猜测：Higgs丛半稳定的充要条件是其上存在渐进的Hermitian-Einstein结构。预订Q-曲率问题是四维黎曼几何中共形几何问题。它是四阶非线性方程。张圣蓉等在这方面做出了许多重要工作。对于总Q-曲率是特定值8\pi^2时，这个问题更为困难。我们得到了一个充分条件。