二维广义磁流体力学方程的整体正则性

Magnetohydrodynamics, initiated by Hannes Alfven who received the Nobel Prize in Physics in 1970, is the study of the interaction between electrically conducting fluids and electromagnetic fields. Its fundamental equations are a combination of the Navier-Stokes equations of fluid dynamics and Maxwell's equations of electromagnetism. There have broad and important application in astrophysics, solar physics, and geophysics. The project intends to study the global regularity of solutions to two dimensional incompressible generalized magnetohydrodynamic equations combined with the structure of the equations by taking advantage of harmonic analysis, Littlewood-Paley theory and other tools. We will have a deeper understanding to the structure of equations through a mathematical study, which provides theoretical basis for practical applications.

磁流体力学是研究导电流体和电磁场相互作用的物理学分支，最早是由Hannes Alfven 开始研究的，并因此在1970年获得了物理学诺贝尔奖。它的基本方程是流体力学中的Navier-Stokes方程和电动力学中的 Maxwell方程耦合的方程组，有很强的物理学背景，在天体物理、太阳物理、地球物理等领域有广泛的应用。本项目主要考察一类二维广义的磁流体力学方程，通过其内在结构，利用Littlewood-Paley理论、调和分析等工具来研究解的整体正则性。通过数学理论的研究，加深对方程结构的认识，为其在现实应用中提供理论基础。

流体力学方程是一类非常重要的非线性偏微分方程，在航空航天、天体物理、国防科技等领域有着广泛的应用，一直占据着数学物理研究的核心领域。磁流体力学方程是研究导电流体和电磁场相互作用的一类特别重要的流体力学方程，受到人们关注。一方面由于二维不可压缩Navier-Stokes方程或Euler方程解的整体适定性问题已经得到解决，另一方面由于磁流体力学方程本身具有其重要的数学及物理意义，二维磁流体力学方程受到人们的重视。然而目前只有二维完全磁流体力学方程解的整体适定性问题得到了解决，二维电阻磁流体力学方程、二维非电阻磁流体力学方程以及二维理想磁流体力学方程解的整体适定性问题到目前为止仍然是公开问题。因此，二维广义磁流体力学方程解的整体适定性问题受到了关注。. 该项目主要研究二维广义磁流体力学方程解的整体适定性问题，证明了如果速度场存在耗散（例如弱的对数型耗散），磁场是拉普拉斯型耗散时方程解的整体正则性。为此，采用能量方法和热核算子半群方法建立速度场和磁场相关的先验估计。由于速度场的耗散非常弱，利用方程的内在结构寻找新的组合量，将磁流体力学方程变换成主要依赖速度场的方程，即带弱型耗散和梯度速度场外力的涡度方程，最终利用非线性极值原理和BKM准则得到解的整体正则性。该结果有其重要意义，一方面，该结果非常接近于解决公开问题——二维电阻磁流体力学方程解的整体适定性问题，另一方面得到了副产品，即提高了二维电阻磁流体力学方程中磁场的先验估计，为下一步研究工作奠定了基础，并被其他论文引用从而改进二维电阻磁流体力学方程的正则性准则。最后，将非线性极值原理方法由原来结构较简单的流体力学方程推广应用到了由速度场和磁场耦合的结构更复杂的磁流体力学方程，并发现该方法还可以应用到其他类似结构的方程，加深了对方程的理解，完善了该领域的数学理论。