局部域上的分形分析及拟微分算子的负谱

The project focuses on the fractal PDE from both macroscopic and microscopic aspect, namely over the Euclidean space and the local fields. From macroscopic view point, this study investigates the negative spectrum of Schrodinger operators with fractal potentials, using fractal pseudo-differential operators on the basis of the theory of function space which created by Has Triebel. The main idea is to improve the Triebel B-type space which the operator act in. We obtain anisotropic B-type space from defining anisotropy number, anisotropy distance function. On the other hand, we change the iteration mechanism of nonisotropic fractal setting to make the fractal sets more regular. And then we use the decomposition technique to arrive the sharp estimate of the negative spectrum of Schrodinger operators. Thereby we improve Has Triebel's work. From microscopic view point, we want to find the exact solutions for a class of two-dimensional wave equations with fractal boundary applying p-adic derivative and the orthonormal basis established by Su Weiyi and Qiu Hua. The main idea is to use the methodology of separation of variables, making the proposed pseudo-differential equations reduced to ODE. Furthermore, we study the Weyl conjecture of the given solutions over the local fields.

本项目从宏观和微观两种角度，即分别以欧氏空间和局部域为底空间两种思路来进行分形PDE的相关研究。从宏观角度，利用Hans Triebel在函数空间理论基础上建立的分形拟微分算子来研究一类具有分形位势的薛定谔算子的负谱，主要研究思想是改进算子所作用的空间，即从Triebel定义的B型空间出发，引入各向异性数、各向异性距离函数，从而得到各向异性B型空间；另一方面改变所研究的非各向同性分形集的迭代机制，使得研究的分形集更加正则化，同时运用算子分解的技巧，期望得到薛定谔算子负谱估计的精细估计，从而改进Hans Triebel的工作。从微观角度，利用苏维宜以及邱华在局部域上建立的p-adic导数和完整正交基，运用分离变量的方法，使得局部域上的拟微分方程降为常微分方程，以此来寻求一类具有分形边界的p-adic二维波动方程的定解，进一步研究该定解问题的Weyl猜想。

16世纪以来，微积分对人类科学事业的发展做出了巨大的贡献。然而，随着不光滑或者不规则的集合类与函数类的出现，科学家们对大量存在于自然界和科学实验中的分形图形或分形函数给予了高度重视。值得强调的是，在科学领域起着重要作用的、代表运动物体变化率的导数对分形失去了作用，因此，寻求新变化率，建立分形上的微分方程就称为分形分析的重要课题之一。本项目正是基于此，从微观和宏观两个层面开展了分形分析上的相关工作。从微观层面上，利用苏维宜教授在局部域底空间上建立的分形拟微分算子，研究了一类带Lipschitz项的类波动方程，通过一种优化形式的p进积分方程，并运用正则化的方法获得该方程的级数形式解，进一步说明该解是收敛并且稳定的。对于处处连续处处不可导的函数，我们在局部域上定义了类Takagi函数，并考虑了2进分形导数，并且对于导函数的图像，计算了它的分形维数，刻画了分形维数与导数之间的线性关系。从宏观层面上，利用Has Triebel以及Jun Kigami 在欧式空间上建立的拟微分算子理论，分别考虑了带有分形位势的薛定谔算子的负谱问题以及三级Sierpinski垫片在其左半定义域上的Dirichlet边值问题，得到了薛定谔算子的负谱精细估计以及在左半三级Sierpinski垫片这样的分形集上调和函数的结构和Green函数的解的表示式。另外，我们还考虑了分形动力学方面的其他问题——具有自相似结构的网络上的随机游走，研究了这些网络上的平均陷阱时间以及对应Laplace矩阵的谱，刻画了这些网络上的扩散效率。