对称约束下的KP型方程簇的可积性

The KP hierarchy is an integrable hierarchy established on the Sato theory, which is represented by the KP equation—a two-dimensional extension of the well-known KdV equation. KP type hierarchy means the KP hierarchy and its reductions and extensions, which includes KP, modified KP, BKP\CKP, discrete KP, Super KP, q-KP, Matrix-KP and Frobenius-KP, etc. The aim of this project is to study the integrability of the constrained KP hierarchy, based on the Sato theory, from two aspects of Hamiltonian structure and solvability:.(A) The algebraic property of the Hamiltonian structure for the KP type hierarchy. .(B) Solving (2+1)-dimensional integrable equations by the symmetry constraint, and exploring the solvability of the coupled equations obtained by the symmetry constraint.

KP方程簇是指基于Sato 理论建立的可积系统，并以著名的KdV方程及其在2+1维空间的推广的KP方程为典型代表的方程簇。KP型方程簇是KP方程簇的推广以及约化，主要包含KP、修正KP、BKP\CKP、离散KP、超KP、q-KP、Matrix-KP、Frobenius-KP等等。基于Sato理论，本项目拟从哈密顿结构与可解性两方面来研究对称约束下的KP型方程簇的可积性：.（A）对称约束下的KP型方程簇哈密顿结构的代数性质，.（B）通过对称约束求2+1维可积方程的精确解，以及对称约束所得到耦合方程的可解性。

本项目基于Sato理论框架、对称约束、双线性方法，主要进行两方面的研究：（A）对称约束下的KP（Kadomttsev-Petviashvili）型方程簇哈密顿结构的代数性质，包括KP型方程簇的Frobenius代数刻画、对称约束和蕴含的代数结构、哈密顿结构等；（B）通过对称约束求解KP型方程簇及相关方程、研究其可解性，主要是通过不断改进KP方程簇、拓展KP方程簇、多分量KP方程簇双线性方程的tau函数，与双线性方法相结合，构造KP型方程以及DS（Davey-Stewartson）方程的一些特殊类型的精确解，包括怪波、lump、呼吸子、孤立子等，并且利用tau函数的代数性质找到不同类型解之间发生弹性与非弹性碰撞的临界条件，研究二维可积系统中的不同类型解之间的相互作用. 相关结果呈现在二十余篇论文里. 这些结果一定程度上完善了Sato理论的框架，同时得到更多KP型方程簇的特殊类型精确解，为物理实验和物理应用提供理论依据.