一类椭圆型方程基态解的存在性及其性质的研究

This project concerns with the existence, uniqueness, symmetry property and the blow up behavior of the ground states for a class of inhomogeneous elliptic equation, which can be translated into a L2-constrained minimization problem for a class of energy functional arising in Bose-Einstein condensation in R2. The project is discussed from following problems: 1) In contrast to the homogeneous case, both the existence and nonexistence of minimizers may occur at the threshold, depending on the property of inhomogeneity. By analyzing the property of inhomogeneity, we study the existence of minimizers at the threshold. (2) Using the “shooting method” in ordinary differential equation, we study the uniqueness of minimizers, which is radially symmetric about the origin. (3) By establishing optimal energy estimates, we consider the blow up behavior of minimizers under the ring-shaped potential and the potential which equals to zero in a bound domain respectively. In summary, the project team selects the research of this kind, which has comprehensive physical backgrounds. The analytic methods developed in the project could be used effectively to investigate other interesting variational problems arising in quantum many-body systems, which is meaningful.

本项目主要研究一类非齐次椭圆型方程基态解的存在性、唯一性、对称性以及爆破行为。此类方程可转化为R2中一类描述玻色-爱因斯坦凝聚的能量泛函在L2范数下的约束极小问题。本项目拟从以下问题进行讨论：1) 与齐次情形不同的是,当参数达到临界门槛值时, 极小可达元的存在性与非存在性都有可能发生,这完全依赖于非齐次项的性质。通过对非齐次项的分析，我们研究了参数在临界门槛值处极小可达元的存在性。2)利用常微分方程中的“打靶法”，我们研究了径向极小可达元的唯一性。3)通过建立精细的能量估计，我们分别考虑了环形位势和“片状”零点位势下极小可达元的爆破行为。综上所述，项目组选择该课题研究具有广泛的物理意义，可对研究量子多体系统中的变分问题提供一些新的方法，是有意义的。

本项目首先研究了一类非齐次椭圆型方程基态解的存在性、唯一性、对称性以及爆破行为。此类方程可转化为R2中一类描述玻色-爱因斯坦凝聚的能量泛函在L2范数下的约束极小问题。本项目考虑了如下问题：1)与齐次情形不同的是,当参数达到临界门槛值时, 极小可达元的存在性与非存在性都有可能发生,这完全依赖于非齐次项的性质。通过对非齐次项的分析，我们研究了参数在临界门槛值处极小可达元的存在性。2)利用常微分方程中的“打靶法”，我们研究了径向极小可达元的唯一性。3)通过建立精细的能量估计，我们考虑了“片状”零点位势下极小可达元的爆破行为。其次，本项目还研究了一类非局部椭圆型方程基态解和束缚态解的存在性以及正解的多重性。