非线性抛物方程解的交界面和新的临界指数

本课题主要针对非线性抛物方程(组)初值和初边值问题解的第二临界指数、生命跨度、自模解、大时间渐近行为、交界面、临界全局存在曲线和Fujita临界曲线、Localization和爆破集等问题进行深入研究，这些问题也是目前非线性抛物方程理论研究中的前沿和热点问题之一，力争解决一些尚未完全解决的问题。对于第二临界指数和生命跨度问题，拟采用能量估计方法，推广已有的结果到更广泛的初始条件，同时能对更一般的方程得到相应的结果。通过尺度变换和构造适当的上下解来研究非牛顿渗流方程和多方渗流方程的爆破速率。利用交集的比较原理分析解在爆破时间附近的空间结构，证明Localization的存在性，通过自相似变换，把偏微分方程转化成常微分，对Localization进行分类。将对数形式的扩散方程变为具有对流项的多孔介质方程，分析对流项与其它非线性项之间的相互作用，得到临界全局存在曲线和临界Fujita曲线。

本项目基本上是按原计划进行研究，首先针对非线性抛物方程(组)初值和初边值问题解的整体存在性、爆破、爆破速率、Fujita 型临界指数、临界曲线、第二临界指数、生命跨度和大时间渐近性态等问题进行研究；其次研究了抛物-抛物Keller-Segel趋化模型的整体存在性和有界性；第三，考虑一类带有非局部时滞和扩散的捕食者—食饵系统的稳定性；第四，考虑了一类Lorenz混沌系统解的有界性，并且通过数值模拟说明了方法的可行性；最后，考虑了一类非线性波动方程(组)解的整体存在性、有限时间爆破。通过使用上下解方法，凸方法，能量方法，scaling技巧，稳态解和自相似解，带权的时空估计，对于这些热点问题取得了一系列成果。