含真空状态的可压Navier-Stokes方程组的定性研究

The research on the compressible Navier-Stokes equations is one of the most fundamental problems in fluid dynamics. When the mass density is away from vacuum, the well-posedness is ralatively easier to be understood, and there are already rich reseach results; while when vacuum appears, for constant viscosities, the regions of hyperbolicity and parabolicity are glued together in a way that depends on the solution itself so that it is almost impossible to study separately, which causes great difficulties to the study of well-posedness and other related problems. It is even more complicated when the viscosities depende on the mass density and the absolute temperature. This project is aimed to combine the features of the special structure of Navier-Stokes equations effectively to creatively impove some classical hyperbolic-parobolic methods such as vanishing viscosity, $L^p$-$L^q$ theory, compensated compactness, functional method ect. so as to solve some difficult problems with vacuum on the well-posedness and behavior of solutions (such as the local existence of large data classical solution, the global existence of large data weak solution, the global existence of classical solutions with small data, the finite time blow-up, blow-up criterion for the local strong solutions and long time behavior of the global classical solutions).

对可压缩 Navier-Stokes 方程组的研究是流体力学最基本的问题之一. 当远离真空时, 其数学结构为双曲抛物耦合方程组, 相应的适定性问题是相对容易理解的,并且通过一些经典的方法, 已经有了一大批研究结果. 但是当真空出现之后, 这个系统的数学结构就随着真空的分布而变化, 双曲-抛物的区域就取决于解本身的变化, 按照现有的理论, 把这两个区域分开来处理是很困难的. 这就给相应的适定性以及解的性态的研究带来了困难. 当粘性系数依赖于物质密度和绝对温度时, 情况更为复杂. 本项目的目的, 是想在Navier-Stokes方程组的具体数学结构基础上, 结合并改进双曲方程传统的粘性消去法, 补偿列紧, L^p-L^q 理论, 泛函方法等, 通过对真空区域随时间演化的分析, 去解决一些比较困难的适定性与解的性态问题(如大初值局部经典解, 有限能量整体弱解, 小初值整体经典解, 有限时间爆破)

本项目围绕的带真空状态和退化粘性系数的可压缩粘性流体Navier-Stokes方程组展开分析。所得结果包括解的适定性、奇性形成、以及粘性消失极限和长时间性态等解的行为。当初值含有真空并且粘性系数以幂次的形式依赖于密度时，我们通过对其数学结构的深刻分析，将其分为奇异（幂次小于1），弱奇异（幂次等于1）及退化（幂次大于1）三种情形，并在真空处建立速度的恰当结构，对弱奇异和退化情形证明了大初值Cauchy问题含真空情形的经典解的局部适定性，同时在退化情形首次给出了完整的大初值经典解的有限时间爆破结果，即奇异性理论与局部适定性理论相匹配；对退化情形建立了局部时间上的粘性消失极限。我们也对与Navier-Stokes方程组耦合的其他一些偏微分方程组，比如磁场和辐射场作用下的磁流体力学方程组和辐射流体力学方程组，进行了类似的研究。作为Navier-Stokes方程组粘性消失极限的理想流体力学Euler方程组对Navier-Stokes方程组的研究也起到重要的作用。此外，我们还考虑了一些其他的特殊或一般的双曲或抛物-双曲耦合方程或方程组。