几类双曲抛物耦合方程的整体适定性和随机动力系统

This project mainly investigate the following topics: (1) the global wellposedness of solutions for some hyperbolic-parabolic coupled equations, the characteristics of these equations are hyperbolic (singularity)-parabolic (dissipation) coupled with strong nonlinearity, the sigularity and dissipation also and interact each other. The above equations derived from physics, mechanics and other applied sciences, they are not only a challenging problem in mathematical theory, but also have important applications in mechanics; (2) the global existence of solutions for some stochastic partial differential equations and corresponding random infinite-dimensional dynamical systems which is a hot topic in the world at present.

本项目主要研究下面问题：（1）几类非线性双曲抛物耦合方程组解的整体适定性，双曲抛物耦合方程的特点是双曲（奇异性）和抛物（耗散性）相互影响，相互作用以及强非线性，这些方程组来源于物理和力学等应用学科，不仅在数学上具有理论挑战性，而且在力学上也有重要应用价值；（2）一些随机偏微分方程整体解的存在性和相应的随机无穷维动力系统，这是目前国际上的研究热点之一。

该项目资助年限为一年, 在课题组成员的共同努力下, 在双曲抛物耦合方程及随机动力系统的研究中已取得一些成果, 公开发表SCI 论文3篇, 国内核心期刊和其它国际期刊2篇。这些论文考察了一些双曲抛物耦合方程（比如三维Boussinesq方程，MHD方程，Breese热弹系统等）整体解的适定性以及无穷维动力系统，具体来说，（1）得到了带有小扰动外力的BBM方程拉回吸引子的上半连续性; （2）研究了一些三维不可压缩流体方程（三维Boussinesq方程，MHD方程）解的爆破；（3）利用半群方法得到了齐次，非齐次，自治，非自治Breese热弹系统整体解的存在性，推广了刘壮一教授和饶博鹏教授（ZAMP，2009）的结果；（4）给出了三维Brinkman-Forchheimer方程解的一些长时间行为。这些研究便于我们更好地认识双曲抛物系统的动力学行为，一些最新成果已经投稿，还有一些新的内容正在深入的研究。通过对该课题的研究，我们在双曲抛物耦合方程和无穷维动力系统方面得到的一些理论和方法可能还可以用来研究三维经典流体方程的长时间行为以及随机偏微分方程，对这些模型的物理力学背景也会有更深刻的认识。