Navier-Stokes方程及相关模型一类大解的整体适定性研究

The global wellposedness of the smooth solution for the 3D Navier-Stokes equation is one of the 7 century mathematical problem which were listed by Clay Institute of Mathematics. We will focus on global existence result of the Cauchy problem of three-dimensional incompressible Navier-Stokes equation with the initial data which is slowly vary in the vertical direction. The ones which generated by such initial data is called large solutions of the Navier-Stokes equations. On the one hand, this result can make the theoretical progress for the wellposedness of the Navier-Stokes equations. On the other hand, this provides a theoretical guidance for the research of the blow up criterion for the Navier-Stokes equations. At the same time, it provides research ideas for other types of fluid. One can use it to study the large solutions of viscoelastic fluids.

三维不可压缩的Navier-Stokes方程光滑解的整体适定性问题是克雷数学所列出的7个世纪难题之一。本项目将着重研究三维不可压Navier-Stokes方程以在竖直方向上缓慢变化的函数为初始速度的柯西问题的整体解存在性理论。由该类初值所生成的Navier-Stokes方程的解，称之为大解。研究这类问题，一方面其为Navier-Stokes方程大解的整体适定性研究取得理论进展。另一方面，为研究Navier-Stokes方程的解在有限时间破裂提供理论指导。同时，它为其它类型流体的整体适定性研究提供了研究思路，我们可以借此研究粘弹性流体的大解整体适定性问题。

三维不可压缩的Navier-Stokes方程光滑解的整体适定性问题是克雷数学所列出的7个世纪难题之一。本项目执行期间围绕三维不可压Navier-Stokes方程的适定性问题展开研窗台，特别的以在竖直方向上缓慢变化的函数为初始速度的柯西问题的整体解存在性为重点研究对象，由该类初值所生成的Navier-Stokes方程的解，称之为大解。研究这类问题，一方面其为Navier-Stokes方程大解的整体适定性研究取得理论 进展。另一方面，为研究Navier-Stokes方程的解在有限时间破裂提供理论指导。在项目执行其期间，我们还对Naver-Stokes方程关于速度场单个分量的解的爆破准则进行了全面的研究。特别是对可积性指标p=2的断点情形，完整的证明当p大于等2时，速度场单个分量临界的Sobolev范数在有限时间内爆破。