具有曲界面表面流与多孔介质流耦合问题的有限元法

The coupling problem of surface flow and porous media flow arouses increasing interest because of its significance in hydrology, environmental science and bio-fluid dynamics. Because the interface between surface flow and porous media flow is actually curve, and there is few studies about finite element method for this coupled problem with curved interface. We study firstly the finite element methods for the typical Stokes-Darcy model when the subproblems couple on the curved interface. First, we discuss the immersed interface finite element method for the coupling problem when the global discrete grids are unfitted with the curved interface. Then, a mortar-type finite element method is proposed when meshes in different subdomains are allowed to be nonmatching on the common curved interface. Moreover, we present some efficient solvers for the linear system discreted by these finite elements. We will try to derive the LBB condition for the saddle point problems carried out by the discrete forms and prove error estimates of the proposed finite element method. Furthermore, the uniform convergence rates of the solvers will also be given.

表面流与多孔介质流耦合问题由于在水文学、环境科学和生物流体动力学等领域有着广泛应用已成为人们研究的热点。由于实际问题中表面流与多孔介质流的交界面是弯曲的，国内外关于具有曲界面耦合问题有限元法的研究较少。本项目拟针对Stokes-Darcy这一典型模型，首次研究子问题在曲界面上耦合时的有限元方法。首先，考虑耦合问题的全局离散网格跟曲界面非匹配时的浸入界面有限元方法；接着，给出两个子问题的离散网格在曲界面上非匹配时的Mortar型有限元方法；然后，对上述有限元离散系统设计高效求解器。重点验证离散问题对应鞍点问题的LBB条件并证明有限元解的误差估计，得到求解器收敛的一致性。

Stokes-Darcy耦合模型是一有意义且具有挑战性的课题。我们首次研究具有曲界面模型的有限元方法，并已取得一些成果。(1) 我们对弹性界面问题给出了一种相容的浸入界面有限元方法。为了保持相容性，一些校正项被加到双线性形式中，借助于加罚项我们得到了最优收敛性。另外，一些稳定的非闭锁的非协调浸入界面有限元方法被用来求解几乎不可压的弹性界面问题，我们证得了不依赖于物理参数的收敛率。(2) 我们给出了此耦合问题弱形式的一种Mortar元逼近方法。非协调Crouzeix-Raviart元及最低阶的Raviart-Thomas元分别离散液流和多孔介质流。界面条件被限制到有限元函数空间的定义中。并且，一种一致稳定的混合元借助于Nitsche型限制条件被用来统一求解各种子问题的耦合问题。(3) 在粗网格上求解完耦合的非线性问题之后，在细网格上我们依次求解解耦的线性化子问题，最后在细网格上又校正一轮。我们得到了细网格与粗网格尺寸之间一个更高阶的结果，此算法也被推广到多水平方法。(4) 我们对椭圆界面问题给出了一种非匹配界面罚有限元方法，用到了Nitsche方法、组拼单元以及调和加权的流这些技巧。有限元收敛率以及代数系统的条件数均是最优的且不依赖于界面位置。另外，误差估计不依赖于间断系数的跳跃。离散问题的适定性以及有限元解的最优误差估计都被证明了。数值实验验证了所有的理论结果。