带跳跃非线性项或非线性边界条件的平均曲率问题解集连通分支研究

The mean curvature equation has the important application value in capillarity theory, micro-electromechanical system,the geometry model of the human cornea, classical relativity, cosmology and differential geometry. The problem with jumping nonlinearity or nonlinear boundary conditions arises from the study of the population dynamics, nonlinear bending beam, and the Yamabe problem in Riemannian geometry. Thus, the purpose of this project is to study the existence of (positive) solutions and sign-changing solutions, the global structure of solutions continuum branch for mean curvature problem with jumping nonlinearity or nonlinear boundary conditions and discuss the existence, convergence and approximate symmetry of numerical solutions for radial solutions of mean curvature equations in ball domain. These research will lay a theoretical foundation for the qualitative theory of solutions of mean curvature equations and its practical applications, provide an effective computation method and a theoretical instruction for numerical solutions of mean curvature equations.

平均曲率型方程在毛细作用理论、微机电系统、人类眼角膜几何模型、相对论、宇宙学和微分几何中具有重要的应用价值.而在种群动力系统、非线性弯曲梁问题、黎曼几何中的Yamabe问题等中都能导出带跳跃非线性项或非线性边界条件的问题.本项目拟研究带跳跃非线性项或非线性边界条件的平均曲率问题(正)解、变号解的存在性以及解集分支的全局结构,探讨球形域上平均曲率问题数值解的存在性、收敛性和近似对称性.这为平均曲率方程解的定性理论和实际应用奠定理论基础,为其数值计算提供一种有效的计算方法和理论指导.

平均曲率型方程在毛细作用理论、微机电系统、人类眼角膜几何模型、相对论和微分几何等领域中具有重要的应用价值.而在种群动力系统、吊桥梁、非线性弯曲梁问题、黎曼几何中的Yamabe问题等中都能导出带跳跃非线性项或非线性边界条件的问题.关于带跳跃非线性项或非线性边界条件的平均曲率问题的解集连通分支的研究既具理论价值又有重要的应用前景.由于平均曲率算子是非线性及这两类问题的非线性程度高,所以关于带跳跃非线性项或非线性边界条件的平均曲率问题解的研究尚处于起始阶段,所得结果也是零散的,仅有的研究结果也只是运用拓扑度理论对解的存在性以及不存在性进行讨论.基于此,本项目运用拓扑度理论、算子理论、分歧理论和时间映象原理等深入系统地研究了带非线性边界条件或跳跃非线性项的平均曲率问题(正)解、变号解的存在性以及解集分支的全局结构,探讨了平均曲率问题数值解的存在性.特别地,对带非线性界边条件的平均曲率问题解的存在性和带跳跃非线性项的平均曲率问题的解集结构及相应数值解的存在性建立了一些重要的结果.这些结果推广和改进了已有相关文献的重要结果,为平均曲率方程解的定性理论研究和实际应用奠定理论基础,为其数值计算提供一种有效的计算方法和理论指导.我们的研究成果以学术论文的形式体现,在国内外一些具有影响力的学术刊物上发表学术论文21篇.