带周期边值条件线性梁方程的谱结构及其应用

The purpose of this project is to obtain the eigenvalue structure and oscillation property of eigenfunction for continuous linear beam equations involving indefinite weight function with periodic boundary condition and anti-periodic boundary condition, which will be applied to the existence and multiplicity of positive periodic solutions of nonlinear beam equations. We also give the eigenvalue structure and oscillation property of eigenfunction for discrete linear beam equations with periodic boundary condition and anti-periodic boundary condition. These results will reveal the relationship and difference of spectrum structure between continuous beam equations and discrete case, and provide a theoretical instruction for the numerical solutions of continuous beam equations.

本项目拟研究带周期边值条件和反周期边值条件的变权连续线性梁方程的特征值结构以及特征函数的振荡性质，并将其应用于非线性梁方程正周期解的存在性和多解性研究；同时讨论带周期边值条件和反周期边值条件的离散线性梁方程的谱结构和特征函数的振荡性质，给出其与连续情形谱之间的联系与区别，为连续梁方程的数值解提供理论指导。

梁方程的研究是线性弹性理论的简单化，它提供了一种计算弹性梁的载重和偏转特性的方法。对于用不同方式支撑的梁,在同样的荷载条件下，其弯曲情况是完全不同的，如带周期边值条件的四阶常微分方程可刻画一条薄直梁自由无阻尼无穷小横截振动的平衡态。该项目主要研究带周期边值条件的线性梁方程的主特征值及主特征函数的振荡性质，并将其应用于非线性梁方程正周期解的存在性和多解性研究。运用分歧理论获得了该类问题正解存在的最优条件；同时讨论了带周期边值条件的离散线性梁方程的主特征值和主特征函数的振荡性质，并获得非线性项变号时非线性离散四阶周期边值问题正解集的全局结构，给出其与连续情形的联系与区别，这些结果为连续梁方程周期解的计算和数值解的计算提供理论指导。此外，还建立了非线性项满足符号条件或Ambrosetti-Prodi条件时带Neuman-Steklov边值条件的奇异phi-Laplacian方程解的存在性结果，为微分方程数值解的研究提供了理论基础。