具非线性边界源或加权反应项的扩散模型解的性质研究

The aim of this project is to investigate the properties of solutions, such as global existence, blow up, extinction and quenching, to two classes of nonlinear diffusion models that have important background in physics or biology. The models under consideration include fast and slow diffusion equations (systems) with nonlinear sources or weighted functions on the boundary, nonlinear memory terms, nonlocal sources as well as diffusion equations (systems) with weighted reaction terms. We will introduce suitable function spaces to each model, construct a sequence of suitable approximation solutions to the problems with the use of some known results to corresponding elliptic and uniformly parabolic problems, and then obtain some necessary boundedness and regularities of solutions to the problems by using modern methods and iteration techniques in PDEs. Furthermore, the group will study the effect of different kinds of nonlinearities on the blow-up properties, extinction or positivity, quenching and asymptotic behaviors of solutions by using modern techniques in analysis, integral operator theories, theories in dynamical systems, modified comparison principle and super and subsolution methods and find the corresponding critical exponents.

本项目旨在研究两类具有重要物理或生物学背景的非线性扩散模型解的性质, 比如解的整体存在、爆破、熄灭和淬灭等. 所研究的模型主要是具非线性边界源或边界权函数、非线性记忆项、非局部源的快、慢扩散方程(组)及具加权反应项的扩散方程(组). 我们将针对具体模型, 引入适当的函数空间. 利用已有的关于椭圆方程和一致抛物方程的丰富结果, 构造恰当的近似序列. 然后利用现代偏微分的研究方法和迭代技巧进行先验估计, 获得必要的有界性和正则性. 进一步综合利用精细的分析技巧、积分算子理论、动力系统理论和修正的比较原理及上下解方法研究不同性质的非线性项及权函数对解的爆破性、熄灭性或正性、淬灭以及渐近性的综合影响, 揭示临界指标.

本项目旨在研究几类具有重要物理或生物背景的非线性扩散模型解的性质, 比如解的整体存在、爆破、熄灭与非熄灭等。所研究的模型主要是具非局部源、非线性吸收项、非线性边界源的快、慢扩散方程(组)及具各向异性扩散的扩散方程(组)。我们针对具体模型, 引入适当的函数空间， 利用Galerkin逼近或不动点定理获得了相应问题弱解的局部存在性。进一步综合利用精细的分析技巧、迭代技巧、位势井方法、动力系统理论和修正的比较原理及上下解方法研究不同性质的非线性项及权函数对解的爆破性、熄灭性和非熄灭性以及渐近性的综合影响, 揭示临界指标。我们也研究了与之相关的奇异椭圆问题，通过将所研究问题的Lyapunov泛函限制于相应的Nehari流形上并结合Eklend变分原理，我们给出了问题存在弱解的充要条件。最后，我们还研究了带奇异低阶项的p(x)-Laplace椭圆和抛物型方程。通过构造恰当的检验函数，我们得到了必要的先验估计；结合收敛技巧，证明了相应问题弱解、重整化解或熵解的存在性。