反常扩散的分数阶偏微分方程建模及其数值计算

Fick's law is the fundamental law for characterizing diffusion process. The diffusion equations derived by Fick's law, for exmaple, reaction-diffusion equation, advection-diffusion equation, can describe the diffusion phenomena in matter very well. But they do not always reflect the diffusion behavior accurately in every process, for example, the anomalous diffusion with memory. This program focuses on the modeling of fractional partial differential equations (FPDEs) and their numerical computations. The detailed research contents are listed as follows. (1) Fick's law for classical diffusion is generalized to the fractional case for anomalous diffusion. And by the aid of fractional Fick's law, the FPDE models for genuinely reflecting anomalous diffusion are established, mainly including fractional reaction-diffusion equation, fractional advection-diffusion equation. (2) The finite difference method and the finite element method are used to compute the established equations, where the numerical schemes with higher-order accuracy, less storage, and faster convergence are constructed. Overall, through these studies, the applicants aim to develop the theory of FPDE modeling and the scientific computations in order to provide solid theory and technical support for real applications.

菲克定律是刻画经典扩散过程的基本规律。运用菲克定律导出的扩散方程(如反应扩散方程、对流扩散方程), 能够很好地描述物质中的扩散现象，但并不总能准确地反映所有扩散行为，如带记忆特性的反常扩散。本项目拟研究反常扩散的分数阶偏微分方程建模及其数值计算，具体内容如下：(1) 将刻画经典扩散的菲克定律推广到刻画反常扩散的分数阶菲克定律，运用分数阶菲克定律建立真实反映反常扩散的分数阶偏微分方程，主要包括分数阶反应扩散方程、分数阶对流扩散方程。(2) 运用差分方法和有限元方法对建立的分数阶偏微分方程进行数值计算，构造高精度、低存储、快收敛的全离散格式，进行大规模数值计算。通过本项目的研究，推动反常扩散的分数阶偏微分方程建模及其数值计算的深入发展，为现实应用奠定坚实的理论基础和提供技术支持。

整数阶偏微分方程不能准确刻画带记忆或遗传特性的扩散问题，其主要原因是带记忆或遗传特性的扩散通常不遵循菲克定律。在经典的菲克定律基础上，引进带奇异核的非局部算子并建立新的菲克定律即分数阶菲克定律。通过分数阶菲克定律，建立分数阶偏微分方程。这些分数阶偏微分方程模型常常是非线性的，为了理解反常扩散的物理机制和演化过程，数值方法便是主要的研究方法之一。.此项目对如下问题进行研究并取得进展。具体说来，有以下几个方面：(1)一般说来，拉普拉斯算子是刻画正常扩散的基本工具。而运用Riesz导数(导数阶在1和2之间)是研究反常扩散(或分数阶扩散)的主要手段。我们构造了数值逼近Riesz导数(导数阶在1和2之间)的高阶算法，并将之应用到空间分数阶电报方程、时间Caputo导数-空间Riesz导数Bloch-Torrey方程等。(2)反常对流一般用Riesz导数(导数阶在0和1之间)来刻画，我们建立了刻画反常对流的偏微分方程模型(或称为分数阶对流方程)，分析了Riesz型分数阶微分方程解的正则性，并构建了Riesz导数(导数阶在0和1之间)的高阶数值方法，同时建立了数值求解分数阶对流方程的数值计算格式。(3)数值研究了分数阶Cable方程、时间分数阶亚扩散方程、分数阶扩散波方程、Caputo型非线性守恒律等，所用的数值方法主要是有限差分方法、间断有限元方法等。