分数阶动力系统的二个重要问题

Fractional dynamics is the necessary combination of classical dynamics and fractional calculus.It plays an efficient role in characterizing memory and heredity. It has been found that fractional dynamics can be successfully applied to viscoelastic mechanics and rheology.This program aims to study two important topics, including static bifurcation and chaos synchronization of fractional differential system. For more details, the research contents are scheduled as follows. (1) The center manifold theorem for fractional system is proposed and planed to establish. And the Lyapunov-Schmidt reduction method is generalized to the fractional case. Then by using these two mehtods, the typical static bifurcations of higher-dimensional fractional differential system with sigle parameter are analyzed, such as transcritical bifurcation, fold bifurcation, pitchfork bifurcation, and Hopf bifurcation. Furthermore, a basic theoretical framework for static bifurcations is built. (2) On the other hand, the present project also devotes to developing the stability theory for fractional differential system and to applying the derived stability result to chaos synchronization in coupled fractional differential systems, where the generalized synchronization and phase synchronization are highlighted.The fairly complete analytical method for generalized synchronization and phase synchronization is to provide. Overall, through these studies, the applicants want to develop the theory of fractional dynamics in order to provide solid theoretical fundament and technical support for real applications.

分数阶动力学是经典动力学和分数阶微积分结合的必然产物，它是刻画记忆过程和遗传特性的有效工具。现已发现，分数阶动力学在粘弹性力学、流变学等方面有重要应用。本项目拟研究分数阶动力学的二个重要问题：分数阶微分系统的静态分岔和混沌同步。具体内容如下：(1)建立分数阶微分系统的中心流形定理，将经典的李雅普诺夫-施密特约化方法推广到分数阶微分系统。运用分数阶中心流形定理和推广的李雅普诺夫-施密特约化方法，研究单参数高维分数阶微分系统的跨临界、折叠点、音叉、Hopf等典型静态分岔。建立一套比较完整的静态分岔理论的框架体系。(2)发展分数阶微分系统的稳定性理论，将之应用到分数阶微分系统的混沌同步，重点研究分数阶混沌系统的广义同步和相同步，建立一套比较完整的分数阶微分系统广义同步和相同步的稳定性分析方法。通过本项目的研究，推动分数阶动力学理论的深入发展，为现实应用奠定坚实的理论基础和提供技术支持。

近年来，动力学研究领域里出现了一个新的研究方向即分数阶动力学，它是动力学理论和分数阶微积分结合的必然产物。动力学是熟知的研究课题，但分数阶微积分可能比较陌生。实际上分数阶微积分(包括分数阶微积分和分数阶积分)的理论可以追溯到1695 年9 月30 日莱布尼兹写给洛必塔的一封信中所提到关于1/2 阶导数的想法。但在相当长的一段时间里，除了在流变学中的零星应用外，分数阶微积分主要是作为数学领域的纯理论而被数学家所使用。近几十年，分数阶微积分在粘弹性力学、流变学、非牛顿流体、反常扩散等中有潜在的应用价值。.顾名思义，分数阶动力学就是指是在分数阶微积分和动力系统等数学理论的基础上，运用理论分析和数值仿真方法研究分数阶系统的稳定性、混沌、分岔、同步等相关内容。本项目主要研究分数阶动力学的二个重要问题：1) 建立分数阶微分系统的约化方法—中心流形定理和李雅普诺夫-施密特约化方法，这为研究高维分数阶微分系统的静态分岔提供有利的工具；2) 研究分数阶微分系统的稳定性，并将之应用到分数阶微分系统(分数阶网络)的混沌同步。.主要研究成果如下：(1) 建立了分数阶动力系统的中心流形定理，并给出了分数阶中心流形的逼近公式，该结果发表在ASME会刊上。运用隐函数定理和Fredholm择一性原理建立了分数阶动力系统的李雅普诺夫-施密特约化方法，得到了带参数的分岔方程，该结果亦发表在ASME会刊上。(2) 建立了分数阶微分方程解的延拓定理，该结果发表在Electron J Diff Equ上。建立了分数阶网络的脉冲同步、牵引同步、自适应同步的各种判据，这些工作发表在Chaos、IEEE/CAA J Automat Sin等杂志上。此外，研究了分数阶微积分的数值方法和阿达马型分数阶微积分的性质，这些工作发表在SIAM Journals、Fractals等杂志上。