三类分数阶反常扩散方程的数值算法

Anomalous diffusion is the most frequently existent in nature, especially it is more common in some complex systems including diffusion processes in fractals. Fractional calculus can be more accurate to describe this phenomenon, then many fractional anomalous diffusion equations are established, but it is difficult to obtain the analytical solutions of these equations. Based on reproducing kernel theory, this project will study the numerical methods for three types of fractional anomalous diffusion equations, the three equations are (1) A nonlinear fractional Fokker-Planck equation; (2) A variable fractional order anomalous diffusion equation; (3) For multi-dimensional fractional order equations, it takes a three dimensions equation as an example to study a fractional Klein-Kramers equation. The necessary theory analysis and numerical experiments will be provided for proposed numerical algorithms..Applying reproducing kernel theory to fractional order problems is just beginning, so this subject not only provides some methods for fractional order equations, but also enriches reproducing kernel theory.

反常扩散现象在自然界中普遍存在，尤其在某些复杂系统包括分形介质上的扩散过程中该现象更为常见。用分数阶微积分可以更为精确的描述这一现象，由此建立了大量的分数阶反常扩散方程，但求解这些方程的解析解比较困难。本项目基于再生核理论研究三类不同的分数阶反常扩散方程的数值算法，这三类方程分别是：(1)非线性分数阶Fokker-Planck方程；(2)变分数阶反常扩散方程；(3)对于多维分数阶方程，以三维为例，研究分数阶Klein-Kramers方程。并对本项目提出的数值算法进行必要的理论分析和数值实验。.由于再生核理论应用于分数阶问题才刚刚起步，所以本项目的研究不仅可以给出一些分数阶方程的数值解法，还能丰富再生核理论的研究。

分数阶扩散方程能够更加精确的描述自然界普遍存在的扩散现象，由此建立了非常多的分数阶扩散方程，如何求解这类方程成为迫切需要解决的关键问题，由于分数阶算子的特性，增加了理论分析和数值计算的难度。. 本项目针对分数阶方程的求解难题建立了基于再生核理论的数值算法，主要研究内容包括：（1）非线性分数阶Fokker-Planck方程的再生核配置法；（2）变分数阶非线性反常扩散方程的样条再生核方法；（3）复数域上的方程求解，以分数阶薛定鄂方程为例子，提出一种分离求解方法；（4）引入谱元法的思想，提出求解多维分数阶方程的半离散再生核方法。. 本项目的研究在三个方面取得了较大的研究进展，得到了比较好的理论分析结果和数值实验数据，分别是：（1）发展并完善了再生核基础理论，构造了分数阶再生核空间，为再生核空间引入一组新的基底，提高了数值精度；（2）提出再生核配置法、样条再生核方法和半离散再生核方法，给出一种转换思想解决了复数域方程难于用再生核理论求解的问题；（3）对谱方法进行了改进与完善，包括全离散谱配置法的收敛性、稳定性分析，结合谱配置法与有限元法的优点构建新的谱元法。. 本项目的研究不仅为工程应用提供了有效的数值算法，还为进一步研究分数阶方程问题提供了理论基础。