反应扩散模型时空斑图的计算机辅助分析研究与应用

This project is mainly concerned with the computer-aided analysis on the spatio-temporal patterns of an autocatalysis reaction-diffusion model with high order and the generlized Langford diffusion model. By Turing bifurcation theory, Hopf bifurcation theory, Hassard center manifold theory and normal form method, the existence and stability of Turing bifurcation and Hopf bifurcation at the simple eigenvalue are obtained; By implicit function theorem, Lyapunov-Schmidt technique and singularity theory, the steady-state bifurcation at the double eigenvalue, Turing-Hopf bifurcation and singularity bifurcation are established. Based on Maple and Matlab, the mechanization algorithms are designed for the stability of the equilibrium, the conditions of Hopf bifurcation and Turing bifurcation, and the corresponding amplitude equation. GUI software package is finally made for depicting the bifurcation graph, spatio-temporal pattern and phase diagram. Pattern structure and evolution process are investigated and revealed. This project can provide effective tools for further researches on other reaction-diffusion models and play an important guiding role. Meanwhile, it will further enrich the research content of computer symbolic computation.

对高阶自催化反应扩散模型和Langford推广扩散模型的时空斑图研究进行计算机辅助分析。利用图灵分支理论、Hopf分支理论、Hassard中心流形理论和规范型计算方法，建立单重特征处的图灵分支和Hopf分支的存在性及稳定性；综合运用隐函数定理、Lyapunov-Schmidt约化方法和奇异性理论，建立二重特征值处的平衡态分支、Turing-Hopf分支、奇异性静态和动态分支，给出分支结构和斑图稳定性判定条件；基于Maple和Matlab平台，建立辅助分析两类反应扩散模型平衡点稳定性、Hopf分支和Turing分支产生的条件推导及分支处振幅方程建立的机械化算法，在空间一维和二维情况下研发两类反应扩散模型分支图、斑图、相图绘制的GUI软件包，分析斑图结构及演化过程。期望所得研究成果为其他反应扩散型的深入研究提供有效依据并起到重要指导意义，进一步丰富计算机符号计算的研究内容。

本项目主要对几类反应扩散模型进行分支分析和时空斑图生成研究，结合计算机辅助分析，给出系统复杂动力学行为。重点对两类反应扩散模型，利用极值原理、Crandall-Rabinowit分支理论、Hopf分支理论、Hassard中心流形理论和规范型计算方法，给出Turing分支和Hopf分支的存在性，并给出Turing分支解的局部结构、整体走向、二重特征值处产生的稳态分支、局部分支解的稳定性、非零模式下Hopf分支的存在性和稳定性等结果。同时利用计算机辅助分析，在不同参数条件和分支区域内，模拟斑图结构演化趋势，得到模型主要参数对时空斑图形成和结构演化的影响。项目实施过程中，同时开展了几类捕食模型、时滞微分方程模型和具有对流效应的两物种竞争模型的研究，建立了细致的Turing分支和Hopf分支分析，结合计算机辅助分析研究了系统更为丰富和复杂的动力学行为，为反应扩散模型的研究提供一定的思路和方法，推动该领域的研究向纵深层次发展。