具有互惠机制的三种群反应扩散模型Dirichlet问题的研究

Under Dirichlet boundary conditions, the qualitative analyses of solutions for two kinds of three species reaction-diffusion models with mutualism are given. Firstly, by the regular and singular perturbation method and the Leray-Schauder degree theory, a predator-prey-mutualist model is studied and by meticulously analyzing the asymptotic behaviors of solutions, the multiplicity、uniqueness and stability of coexistence solutions are obtained. Secondly, by the bifurcation theory、the center manifold theory and normal form methods, the Hopf bifurcation and steady-state bifurcation are investigated under Dirichlet boundary conditions, and we mainly focus on how the mutualist affects the spatial-temporal structure and stationary structure of system. By Lyapunov-Schmidt reduction method and singularity theory, the bifurcations from multiple eigenvalue are discussed to supplement and perfect the relevant theoretical results. Finally, we comparatively study the corresponding competitor-competitor-mutualist model. The influence difference of the mutualist on the predation and competition is considered, and the relationship between the invasion of mutualist and the phenomena of the survival and extinction of population、the competitive exclusion、the coexistence and polymorphism is revealed. Numerical simulations are presented to support and supplement theoretical results. Some specific biological phenomena and rules are explained and revealed. Meanwhile, the research contents of reaction-diffusion models will be enriched, further leading to the promotion of the research level.

在Dirichlet边界条件下，给出两类具有互惠机制的三种群反应扩散模型解的定性分析。首先，利用正则摄动、奇异摄动方法和Leray-Schauder度理论，研究一类扩散的捕食-食饵-互惠模型，通过细致分析解的渐近性态，给出共存解的多重性、惟一性及稳定性；其次，利用分歧理论、中心流形理论和规范型计算方法，研究该模型Dirichlet问题的Hopf分歧和稳态分歧，重点给出互惠种群对系统时空结构和稳态结构的影响，同时利用Lyapunov-Schmidt约化方法和奇异性理论探讨发自多重特征值处的分歧，补充和完善相关理论结果。最后，对比研究相应的竞争-竞争-互惠模型，分析互惠者对捕食过程和竞争过程的影响差异，揭示种群的存活和灭绝、竞争排斥与共存及多态等现象与互惠者侵入的关系。理论分析的同时辅以数值模拟，解释和揭示生物现象和规律，丰富反应扩散模型研究内容，提升其研究层次和水平。

针对几类反应扩散模型进行分支分析，给出非常数正解的存在性和稳定性。在Dirichlet边界条件下，利用正则摄动、奇异摄动和Leray-Schauder度理论，给出一类具有互惠机制的竞争-竞争-互惠模型解的定性分析，通过细致分析解的渐近性态，给出共存解的多重性、惟一性及稳定性。研究一类具有扩散的三种群模型的Neumann问题，给出正常数解的存在惟一性及非常数正解的不存在性和存在性。对一类多分子自催化反应扩散模型Neumann问题进行分支分析，给出正解的先验估计和一些性质，建立单重和二重特征值处的稳态分支，并利用分支理论，将单重特征值处的稳态分支延拓为整体分支，并给出了稳态分支的稳定性。同时建立了Hopf分支的存在性和稳定性。对经典Langford模型，一方面利用Lyapunov-Schmidt约化方法，给出ODE系统稳态分支的存在性，同时给出Hopf分支的存在性和稳定性，另一方面对PDE系统，给出单重和二重特征值的平衡态分支，利用中心流形理论和规范型方法，得到Hopf分支的存在性和空间齐次、非齐次周期解的稳定性。对一类具有常数输入率和标准发生率的SIQS模型，运用线性化理论和上下解方法及其对应的单调迭代方法，给出常数解局部渐近稳定和全局渐近稳定的充分条件。结果表明，当接触率很小时，无病平衡点是全局渐近稳定的。在Neumann边界条件下，研究一类具有Degn-Harrison反应的扩散模型，给出非常数正解的存在性和不存在性，同时利用空间分解技术和隐函数定理，构造了全局和局部结构的稳态分支，建立发自二重特征值处的分支。在Dirichlet边界条件下，研究一类带Crowley-Martin功能反应的捕食-食饵模型正解的惟一性及稳定性，借助Lyapunov-schmidt约化方法及摄动技术完整给出了正解的惟一性与不惟一性。理论分析的同时辅以数值模拟，解释和揭示生物现象和规律，丰富反应扩散模型研究内容，提升其研究层次和水平。