等离子体物理中的非局部偏微分方程理论及方法的研究

Many mathematical models arising in plasma physics and other fields are governed by various partial differential equations (systems). With the in-depth study, one needs to develop a new research method. Rearrangement method is a new one, which is different from the previous methods. Several types of nonlocal free boundary value problems arising from plasma physics and some nonlinear partial differential equations will be studied by using the rearrangement method in our projects. Firstly, we will establish some convergence theorems by using the rearrangement properties combing with a priori estimates technology. With the help of them, we will study the the Grad-Mercier mode in a Tokamak and quasi-steady model in a Stellarator device. It includes the existence of solutions and the estimate on the size about the plasma region, the dynamics of amagnetic confinement of a plasma and the optimal control problem with a limiter, focusing on steady and non steady Grad-Mercier modes. The main goal is to solve the open problem giving by Mossino and Temam about the mode; Secondly, we will discuss the nonlinear equations by the Steiner symmetrization method, and establish the comparison results of solutions between the original equations and the symmetrized equations. Due to the comparison results of solutions, the existence and regularity of solutions for the original equations will be obtained. We will focus on establishing a comparison result of solutions for nonlinear equations and the necessary and sufficient conditions for the equal sign case in the comparison results of solutions for linear equations.

等离子体物理等其它领域的许多模型是由各种各样的偏微分方程（组）描述的，随着研究的深入，需要发展新的研究方法，重排方法是一种新的方法，它不同于以往的方法。本项目主要应用重排方法研究等离子体物理的几类非局部自由边界问题和某些非线性偏微分方程。本项目一是通过研究重排的性质，建立重排的一些收敛定理，结合偏微分方程的先验估计方法研究托克马克装置中Grad-Mercier模型和仿星器装置中拟稳态模型，包括解的存在性和等离子体集的估计及动力学行为，还有带有限制器的最优控制等问题，重点研究一般形式的稳态和非稳态Grad-Mercier模型，研究目标就是解决Mossino和Temam关于该模型的开问题；二是应用Steiner对称方法研究非线性方程，建立原方程解与重排方程解的比较结果，从而获得原方程解的先验估计及解的存在和正则性，重点建立非线性方程解的比较结果和线性方程解比较结果中的等号成立条件。

等离子体物理等其它领域的许多模型是由各种各样的偏微分方程（组）描述的，随着研究的深入，需要发展新的研究方法，重排方法是一种新的方法，它不同于以往的方法。本项目主要应用重排方法研究等离子体物理的几类非局部自由边界问题和某些非线性偏微分方程。本项目一是通过研究重排的性质，建立重排的一些收敛定理，结合偏微分方程的先验估计方法研究托克马克装置中Grad-Mercier模型和仿星器装置中稳态和非稳态模型，包括解的存在性和动力学行为；二是应用Steiner对称方法研究非线性方程，建立原方程解与重排方程解的比较结果，从而获得原方程解的先验估计及解的存在和正则性; 三是研究种群模型的自由边值问题及μ-Camassa-Holm方程等其它非线性非局部问题。在本项目的研究中，我们在以下几方面取得了了一定进展，如对某种非局部Grad-Mercier模型，我们证明了解的存在性；我们研究了一类Grad-Shafonov 方程，得到解的存在性和一个上界估计，推广并改进Mossino（1979）和Rakotoson（1995）的工作；我们还研究了一类压力项在一般条件下的载流仿星器中非局部问题解的存在性；应用Steiner对称化方法研究了一类半线性方程和Neumann边界值问题，并建立解的比较结果；对时间周期环境中种群模型的自由边值问题进行了研究，讨论了其特征值关于扩散系数、区域长度和加权函数的依赖性，证明了整体适定性，扩张-灭绝二（或四）择一定理和扩张速度的估计；我们在液晶流解的正则性准则及μ-Camassa-Holm方程等非局部问题方面还取得了一系列成果。总之，本项目研究成果将丰富和促进偏微分方程的研究内容和发展，同时也具有重要的理论意义和应用价值。