等离子体物理中的几类非局部问题的研究

The fusion power is one way to completely solve the energy crisis. Magnetic confinement fusion is proved to be the most promising approach to generating fusion power. Now there exists two major magnetic confinement devices: the tokamak and stellarator devices. According to the classical MHD theory, scientists have established several types of mathematical models describing the equilibrium of a plasma in a Tokamak(or Stellarator）device. This project intends to study some nonlocal problems among them. Especially, our research focus on the Grad-Mercier model(The equation of this type of model involves nonlocal terms, which are neither continuous, nor monotone). The approaches we used are the rearrangement theory, potential theory together with variational methods, fixed point theorems and topological degree theory from nonlinear functional analysis, which differs from the previous research methods. Specifically, We first study the properties of the decreasing rearrangement and relative rearrangement, and prove some convergence theorems and rearrangement inequalities in special functional spaces. Based on these results, we study the existence of solutions, asymptotic behaviour of the plasma region and existence of free boundary to such kinds of nonlocal problems. The study of this project has important practical significance, which will provide the theoretical basis to the experiments of fusion in magnetic confinement devices.

核聚变能源是彻底解决能源危机的根本出路之一，磁约束核聚变被证明是开发聚变能源中最有希望的途径。目前磁约束装置包含两大主流装置：托卡马克装置和仿星器装置。根据经典的MHD理论，科学家们建立了几类数学模型用来描述托卡马克装置（或仿星器）中等离子体的平衡状态。本项目拟研究其中几类非局部问题,特别重点研究Grad-Mercier模型（此类模型的方程中含有非局部项，既不连续，也不单调）。 与以往不同，本项目主要采用的方法是重排理论、位势理论、结合非线性泛函分析中的变分方法、不动点和拓扑度理论。具体来说，我们先研究单调递降重排和相对重排的性质，建立函数空间里的一些收敛定理和重排不等式。基于这些结果，我们研究这几类非局部问题的解的存在性、等离子体域的渐近性态和自由边界的存在性。本项目的研究将为磁约束装置的核聚变实验提供理论基础，具有重要的现实意义。

核聚变能源是彻底解决能源危机的根本出路之一，磁约束核聚变被证明是开发聚变能源中最有希望的途径。目前磁约束装置包含两大主流装置：托卡马克装置和仿星器装置。根据经典的MHD理论，科学家们建立了几类数学模型用来描述仿星器（或托卡马克装置）中等离子体的平衡状态。本项目研究了其中几类非局部问题，此类问题的方程中的非局部项既不连续，也不单调。 与以往不同，本项目主要采用的方法是重排理论、位势理论、结合非线性泛函分析中的变分方法、不动点和拓扑度理论。. 具体来说，我们先深入研究了单调递降重排和相对重排的性质，建立了函数空间的一些收敛定理和重排不等式。基于这些结果，我们研究了一类来源于仿星器装置中等离子体磁约束的非局部椭圆抛物的自由边界问题（自由边界为等离子体区域和真空区域的交界曲线，非局部项含有单调递降重排和相对重排项），适当定义此问题的弱解并证明了弱解的存在性。 其次，我们研究了托卡马克模型问题(1.1)～(1.4)(方程的主算子为非线性)，证明了解的存在性结果。我们还研究了一类主算子为较一般形式的Grad-Mercier-Shafranov 方程,得到了问题的一些存在性结果，基于上述结果，我们还可得到一类主算子为较一般形式的托卡马克Grad-Mercier问题解的存在性。随后，我们推导了托卡马克装置中等离子体磁约束的非稳态模型。最后，我们还研究了其他的一些相关问题。. 本项目的研究将为磁约束装置的核聚变实验提供理论基础，具有重要的现实意义。