机制转化下的最优停时问题研究---以金融中投资决策分析为例

This proposal is going to investigate the optimal stopping problem with regime switching theoretically and numerically, which arises in the investment of financial economics. The main research topics include：（1）.We intend to set up regime switching models which can better reveal the behavior of the economic conditions, such as regime switching model with feedback effect and time varying transition probability matrix. （2）By employing the variational inequality theory, we will study the existence and uniqueness of the solution of the problem as well as the properties and the location of the free boundary. （3）In addition, numerical studies (stochastic approximation, difference method) will be performed to gain some insights of the solution.Our framework can be applied not only in financial engineering, control and optimization but also in manufacturing system and Biological Mathematics.

本项目从理论证明和数值计算两方面来探讨机制转换下的最优停时问题，该问题的研究背景为金融学中的投资决策分析。研究内容包括：（1）建立两类可以刻画不同投资环境的机制转换模型：①具有反馈效应的机制转换模型。②转移密度矩阵为时间依赖的机制转换模型。（2）运用变分不等式的理论来分析该停时问题解的存在性、唯一性。并研究自由边界的单调性、光滑性以及自由边界的位置。（3）选用高效的数值算法，如随机逼近、差分法等得到该问题的数值解。本项目的研究将不仅丰富金融投资理论、随机控制理论，同时也能应用于能源开发、生物数学等领域。

本项目研究了金融领域中最优投资决策问题。首先，我们引入了一个新的动态随机控制的框架，其中资产的价格会对投资环境的机制产生影响。基于此，我们建立了机制的转移密度矩阵为状态依赖的马尔科夫机制转换模型，用变分不等式理论证明了最优投资策略的存在性.我们发现最优投资策略是机制依赖的,扩展了现有的机制转换理论。第二，我们研究了有多个竞争者共存的最优投资策略问题，我们引入了平均场博弈研究框架，将问题转换成对Hamilton-Jacobi- Bellman 方程Fokker-Planck 系统方程的求解。 通过对这一系统方程的研究，我们证明了最优解的存在性。