基于平均场博弈理论的最优投资决策问题研究

This Proposal introduces a mean field game (MFG) modeling framework for optimal investment problem with a large number of similar agents. Most of the games with N players were not tractable and so even numerically, while MFG theory is certainly to simplify the interactions between agents and provide a good approximated Nash equilibrium. The main research topics include: (1) we aim to characterize the industry dynamic equilibrium of a firm's capital stock investment with many firms. By using dynamic programming, we can obtain a coupled system of HJB-FP equation. We also show that the optimal solution derived from the PEDs can be used as a good approximation for the Nash equilibrium of a large number of investors. The equilibrium is further studied numerically by finite difference methods.(2) We investigate the optimal stopping problem with many firms. By employing the variational inequality theory, we will study the existence and uniqueness of the solution of the problem as well as the properties and the location of the free boundary. Our Problems arise from economics and the studies of these problems will lead us to a deeper understanding of optimal investment, stochastic control and game theory.

本项目利用平均场博弈理论研究N(N趋向于无穷)个决策者存在的最优投资决策问题。传统的理论在求解该问题时，无论在理论证明还是数值求解方面都遇到了极大的挑战。而平均场博弈理论可以将问题简化并且可以提供一个良好的Nash均衡近似解。本项目的具体研究内容包括（1）N人竞争下的最优资本投资量问题。我们利用动态规划的方法将问题转化为HJB-FP方程，通过研究该偏微分方程的相关性质得到投资者的最优投资策略的存在性、唯一性等。同时选取有效的数值算法，如有限差分法得到数值解。（2）N人竞争下的最优投资时间问题。运用变分不等式的理论来分析该最优停时问题解的存在性，并研究自由边界的性质。本项目的研究内容来源于金融经济中的实际问题，理论研究顺应博弈论的发展趋势，研究的结果将丰富金融投资理论、随机控制理论、博弈论。

本项目从理论研究和数值计算两方面来探讨投资决策问题，特别是有竞争存在或考虑风险约束的情形。具体的研究内容包括以下几个方面：.①竞争优势对Stackelberg领导者-追随者博弈中投资时机的影响。运用变分不等式的理论证明了该最优停时问题解的存在性，得到了最优的投资时间的显式解。 .②HJB-FP系统方程的研究。平均场博弈理论和平均场控制理论在具体求解上都可以把问题归结为求解HJB-FP方程。该系统的解的存在性、唯一性对原问题是否能求解至关重要。我们首先利用偏微分方程中的技术将系统初步简化，再利用不动点定理证明了解的存在性以及唯一性，同时针对几类特殊的情形探讨了显式解以及数值解。.③风险管理和最优投资决策问题研究。将风险管理纳入到最优化投资的研究框架，采用平均场控制理论对投资问题进行求解。我们用直接方法和HJB-FP方法得到了预先承诺解，同时基于博弈论的框架得到了时间一致性解。数值实验结果进一步揭示了风险对投资决策的影响。