伪欧氏空间中类空凸子流形的研究

Spacelike-convex submanifolds in the pseudo-Euclidean space is a natural generalization of convex hypersurfaces in the Euclidean space. We consider m-dimensional spacelike-convex submanifolds in the pseudo-Euclidean space with signature (m+1,p), such a submanifold inherited a Lorentz metric of signature (1,p) on its normal bundle; furthermore, the spacelike-convex condition means that the normal-bundle-valued second fundamental form is spacelike, i.e. II(v,v) is a spacelike vector where v is any nonzero tangent vector. Intuitively, the m-dimensional closed spacelike-convex submanifold looks like a small perturbation of a closed convex hypersurface in a (m+1)-dimensional Euclidean subspace. We will show that under very weak and natural conditions, a m-dimensional closed spacelike-convex submanifold allows a solution to the Plateau problem, i.e., there exists a (m+1)-dimensional maximal spacelike submanifold with it as the boundary. On the other hand, we will deal with the closed spacelike-convex submanifolds from the curvature flow point of view, consider its evolution and asymptotic behavior under the mean curvature flow and inverse mean curvature flow, then prove some related geometric inequalities by using the curvature flow.

伪欧氏空间中的类空凸子流形是欧氏空间中凸超曲面的一个自然推广。我们考虑度量指标为(m+1,p)的伪欧氏空间中的m维类空凸子流形，这样的子流形在其法丛上诱导指标为(1,p)的Lorentz度量；此外，类空凸的条件意味着法丛值的第二基本形式类空，即当v是任意非零切向量时，II(v,v)是一个类空向量。直观来看，m维闭类空凸子流形看上去像是(m+1)维欧氏子空间中的闭凸超曲面的一个小的微扰。我们将证明在很弱且非常自然的条件下，一个m维闭类空凸子流形的Plateau问题有解，即存在一个(m+1)维的极大类空子流形以之为边界。另一方面，我们将从曲率流的角度对闭类空凸子流形进行分析，研究它在平均曲率流以及逆平均曲率流下的演化规律及渐近行为，并借助曲率流来证明一些相关的几何不等式。

伪欧氏空间中的类空凸子流形是欧氏空间中凸超曲面的一个自然推广。凸几何和几何流都是几何方向的重要研究领域，具有非常丰富且有趣的结果。另一方面，伪欧氏空间的一个特例-四维Minkowski时空是相对论的模型空间，对伪欧氏空间中类空凸子流形的研究也有助于我们加强对相对论的认识。本项目主要研究了以下几个方面：1）伪欧氏空间中闭类空余维1的凸子流形的几何性质；2）讨论经典的Plateau问题的解的存在性，即伪欧氏空间中以给定闭类空余维1的凸子流形为边界的极大类空子流形的存在性；3）闭类空凸子流形在伪欧氏空间中的平均曲率流；4）四维Lorentz空间中闭类空凸曲面的Minkowski不等式；5）Lorentz-Minkowski空间中具有有限全曲率的完备类空超曲面；6）三维Lorentz空间中曲线收缩流的自相似解的F-稳定性； 7）Minkowski平面上完备类空曲线的幂次曲率流的相似解的分类。主要得到了如下结论：1）对于n+1维Lorentz-Minkowski空间中的任意n维完备旋转对称类空超曲面，如果它的第二基本形式L^n有界，则它的全Gauss-Kronecker曲率为0；2）对于四维Lorentz空间中的闭类空凸曲面，Minkowski不等式所对应的伸缩不变量在逆平均曲率流下是单调的。