基于距离的拓扑指标和Hosoya多项式的研究

Wiener指标是理论化学和数学化学中最重要的拓扑指标之一。它被广泛地应用于建立分子结构和物理化学性质之间关系。以此为背景, 第一部分探讨环面和Klein瓶六角系统上Wiener、hyper-Wiener等拓扑指标的具体表达式。第二部分论证与上述指标密切相关的图中距离的生成函数：Hosoya多项式的计算及其理论性质。首先给出正则六角系统和纳米管六角系统上的更一般图的Hosoya多项式的具体分析表达式；第二推广Cata型六角系统上Hosoya多项式的分解定理(即，对具有相同六角形个数的任意两个Cata型六角系统Hosoya多项式之差按顶点的度划分成若干部分，这些部分之间存在不依赖与任何参数的仿射关系)；第三论证几类典型图上Hosoya多项式的单峰性及讨论该性质与图的结构之间关系；最后探讨Hosoya多项式的递推公式及图中Hosoya多项式与其他基于距离的多项式的之间仿射关系。

本项目从计算和理论角度研究了典型图上Wiener、Hyper-Wiener等拓扑指标和相关多项式——Hosoya多项式。经过三年系统研究，基本完成项目的研究工作，取得丰富而较系统的科研成果。 在计算方面， 给出一些典型图上的Hosoya多项式的具体分析表达式，包括，环面六角系统，带帽纳米管，正则皇冠六角系统，纳米锥，亚苯基链(Phenylene chains)，外形为梯形、三角形、平行四边形的六角系统等，进而给出了这些图上Wiener，Hyper-Wiener等指标的公式， 因为它们可以通过对Hosoya多项式做数学运算而得到。关于理论方面，首先，完成计划书中调整研究内容，解决弦图的团树中关于Wiener指标极值问题， 在周长和阶条件下的Wiener指标的上下界并刻画达到极大极小值的图；其次，增加了在计划书中没有提到的理论内容，例如Wiener指标和Hosoya多项式的期望；我们通过概率方法和组合数学中生成函数技巧，成功给出了具有 个六角形的随机苯链(Hexagonal chains)，亚苯基链，螺环和聚苯六角链（Spiro and polyphenyl hexagonal chains）的Wiener指标，Hyper-Wiener 指标，Hosoya多项式的期望。.另外，我们还开展了其他科研工作。首先，课题组成员徐守军和张和平教授提出新的概念：完全强迫集及完全强迫数, 它有别于近期提出全局强迫集和全局强迫数；给出了边子集是完全强迫集的充分必要条件以及苯链和环形苯链上完全强迫数的具体分析表达式，还给出了计算Cata型苯系统完全强迫数的递推公式和一个线性算法。其次，作为2010年美国访问工作的延续， 课题组成员徐守军等人将Wiener指标和计算生物中完美系统进化树相结合，完成了关于弦图上具有最小Wiener指标（即， 最小平均距离）的团树的刻画， 并给出了一个多项式算法构造所有满足条件的团树。最后，证明了一般图上字典序DFS算法的Moplex性质，成功解决了2010年法国A. Berry等人提出的猜想。.目前，本课题组已经发表或接收了10篇较高质量论文，其中7篇SCI论文，接收2篇; 投稿5篇。另外课题组成员徐守军分别于2012和2013年获得甘肃省自然科学三等奖和甘肃省高等学校青年教师成才奖。.