图依能量和依Hosoya指标的排序

图的能量和图的Hosoya指标是代数图论和化学图论研究的重要内容之一，它们与相应化合物的各种物理和化学性质紧密相关，在化学和物理等领域中具有广泛的应用。本项目侧重以代数图论和数值计算为工具，开展对图的能量和图的Hosoya指标的研究。研究内容主要包括：对图论中具有典型意义的各类图，依能量和依Hosoya指标按递增顺序从最小者开始进行排序、按递减顺序从最大者开始进行排序。在研究方法上，侧重对图的结构进行深入分析，并充分结合数值计算，力争在理论方法和研究结果上有新的突破。本课题将首次对具有完美匹配图的匹配数计算公式提出更加简洁而有效的新方法。通过对这些问题的研究，将推动代数图论、化学图论和统计物理学的交叉研究与发展，有助于化学家和物理学家对分子图的各种物理和化学性质深化理论上的认识和实践上的指导，同时对一些实际问题的解决也具有一定的理论指导意义。

本项目旨在研究图依能量和依Hosoya指标从小到大的排序和图的最大Estrada指数问题。重点对以下三个内容进行了研究：（1）图依能量从小到大的排序：克服了原有比较图能量的拟序方法的局限性，主要采用了以下三个方法对图的能量进行比较。将图能量的比较转化为图特征多项式近似特征根的总和的比较，同时利用特征多项式系数和特征根之间的关系，且结合代数图论方法和数值计算，得到了具有完美匹配的单圈图、单圈图、给定直径且具有完美匹配树、具有给定分支个数的森林、树依能量从小到大的排序。2）图依Hosoya指标从小到大的排序：对两个具有完美匹配图匹配数的比较首次引入了简洁且有效的新引理,对原有具有完美图的匹配数公式进行了简化和提升。利用该方法,得到了具有完美匹配的(2n,q)-图、具有完美匹配且度不超过3的单圈图和单圈图依Hosoya指标从小到大的排序。（3）图的最大Estrada指数：首次得到了偶图的Estrada指数与其特征多项式的最大特征根之间的关系，且建立了多个比较Estrada指数大小的简洁有效新方法。得到了单圈偶图、单圈图、双圈图和不含偶圈的(n,m)-图的最大Estrada指数图。项目所得结果为进一步研究具有完美匹配图的匹配数、具有完美匹配图的能量和图的Estrada指数奠定了重要的理论基础，有助于化学家和物理学家对分子图的各种物理和化学性质深化理论上的认识，对一些实际问题的解决也具有一定的理论指导意义。