高精度逼近阶跃函数的结构拓扑优化方法

面向结构拓扑优化，研究逼近阶跃函数及其反函数若干光滑函数的"打磨"性能，奠定高精度逼近它们的磨光函数和过滤函数理论基础，从幂函数、指数函数和修正的Sigmoid函数等选取最佳的逼近形式，探讨出相关参数的计算途径，寻找更合理的结构拓扑优化模型，把ICM（独立、连续、映射）方法提升到更高的层次。在通用有限元软件平台上研究静力、动力、稳定等情况下目标函数、约束条件等的近似显式化，包括敏度分析、模型的映射等，考虑各种约束的共同作用、克服性能作为多目标所产生的困难。为避免优化求解同模型特性相脱节的弊病，充分考虑高精度模型必然凸显的高度非线性特点，针对性的研究出高效率寻优方法，转化为对偶二次规划和非线性方程结合的算法求解，编制出本申请相应的程序，提高优化计算效率，减少迭代重分析次数，计算大量的数值算例，考核理论、方法，并予以改进完善。对广泛的工程结构进行设计应用，产生安全保障下有经济效益的合理构型。

摘要： .本项目面向当前研究热点的连续体结构拓扑优化，是将ICM（独立、连续、映射）方法向纵深探索。其中“阶跃函数”将原本离散的0/1变量转化为[0 1]区间连续变量。抓住这一桥梁，从近似表达阶跃函数及其反函数中获得磨光函数和过滤函数；而且，它们越是高度非线性，则越能逼近阶跃函数及其反函数。研究光滑函数的“打磨”性能：发现了磨光函数中有上磨函数和左磨函数的区分，过滤函数中有慢滤函数与快滤函数的区分；从数量上得到了两种磨光函数和两种过滤函数的判别定理；奠定了高精度逼近磨光函数和过滤函数的理论基础；得出采用快滤函数有益于快速收敛的结论。指出：从幂函数、指数函数和修正的Sigmoid函数等选取，最佳的逼近形式是指数函数；探讨出相关的参数计算途径。寻找更合理的结构拓扑优化模型，建立了高精度逼近的结构拓扑优化模型，具体涉及到静力、动力、稳定等情况下目标函数、约束条件的近似显式化等.也包含敏度分析、模型映射等研究，需要考虑各种约束共同作用等等。伴随着结构拓扑优化高精度逼近模型的建立，不可避免地面对一个高度非线性优化问题的求解，以往得心应手的优化解法不再好用了。为避免优化求解同优化模型特性相脱节的弊病，充分考虑高精度模型必然凸显的高度非线性特点，针对性地研究出高效率寻优方法。提出求解高精度模型新的优化算法：对偶二次规划和非线性方程结合求解优化模型，这是偏于数学规划解法的研究内容。在通用有限元程序平台上，编制出本项目相应的结构拓扑优化软件。计算大量的数值算例，考核了理论、方法和优化计算效率，表明结构重分析迭代次数减少了。对广泛的工程结构进行优化设计应用，产生安全保障下有经济效益的合理结构构型。印证了研究逼近阶跃函数的相关细微的函数性能的意义，从建模到求解形成了完整的方法论体系。因为取力学性能作为约束条件而不是作为目标函数，所以不具有性能多目标问题存在的优化困扰，从根本上克服了性能作为目标函数必然为多目标优化问题的巨大难点。成果体现在发表了17篇期刊论文和做了19次会议报告，为了系统总结本项目，在我们的专著《连续体结构拓扑优化的ICM方法》（科学出版社）做了完整、细致的阐述。可见，ICM方法是研究境界的提升。拓扑优化纳入到截面和形状优化一个系列，按同一规范建模。对结构拓扑优化研究者提供了启迪，特别会对国际上流行的变密度法有借鉴作用。在完成预期研究计划的基础上，做了重要的方向扩充——将