基于有限射影几何的线性码及其子域码研究

There exists an important connection between projective linear codes over GF(q) and projective geometries over GF(q). Given any nonempty subset S of the point set in the projective space PG(k,GF(q)). If any two points in S are GF(q)-independent, then S can be used to construct a projective linear code over GF(q). Recently, Professor Cunsheng Ding in HKUST and the applicant of this research project developed general theories of subfield codes, and studied the subfield codes of the ovoid codes, the hyperoval codes and the oval codes. In this research project, we will focus on studying the subfield codes of the projective linear codes based on some special finite geometry structures. The specific topics are as follows：.(1) the study of the subfield codes of projective two-weight codes based on the Denniston arc in the Desarguessian projective plane, and the study of the augmented codes of the subfield codes;.(2) the study of the subfield codes of MDS codes based on maximal arcs in the projective space PG(3,GF(q)), and the study of the duals of the subfield codes and their extended codes;.(3) the study of the subfield codes of some hyperoval codes based on hyperovals in the Desarguessian projective plane, and the study of their duals..Several classes of optimal binary codes with respect to the sphere-packing bound are expected to be derived in this research project. Optimal codes are very meaningful in coding theory.

有限域上的射影线性码和射影几何之间存在着重要联系。任取射影空间PG(k,GF(q))中点集的一个非空子集合S。如果S中任意两个点都线性无关，那么S可以用来构造一个射影码。最近，香港科技大学丁存生教授和本项目申请人系统给出了子域码的基本理论，以及研究了Ovoid码、Hyperoval码、Oval码的子域码。本项目主要利用一些特殊的有限几何结构构造射影线性码，然后重点研究这些射影码的子域码。具体研究内容如下：.(1) 基于射影平面中Denniston arc构造二重射影码，研究这类射影码的子域码以及子域码的扩充码;.(2) 基于射影空间中Maximal arc构造MDS码，研究这类MDS码的子域码、子域码的对偶码及其扩展码;.(3) 基于射影平面中超卵形线构造超卵形线码，研究这些码的子域码及其对偶码。.本项目预期可以得到几类关于汉明界最优的二元码。最优码在编码理论中具有重要意义。

构造最优或接近最优的线性码是编码理论中的重要研究课题。本项目主要利用有限射影几何和代数方法构造一系列线性码。本项目取得的重要结果如下：.(1) 利用射影平面中的Denniston arcs构造线性码，称为Denniston arc码。本项目研究了Denniston arc码的增信码的二元子域码。借助于代数方法，刻画出了该二元子域码的迹表示，得到了该二元子域码的对偶码的参数。结果表明该二元子域码的对偶码关于球填充界距离最优。特别地，此对偶码的码率比扩展二元汉明码的码率更高，且极小距离相同。.(2) 基于射影空间PG(3,GF(q))中的一类Maximal arcs得到一类q元MDS码。申请人和合作者利用一些代数手段计算出了该MDS码的二元子域码的维数。其次，研究了该二元子域码的对偶码的扩展码，得到了此类码的参数。结果表明，此类码关于球填充界距离最优。特别地，此类码的码率和扩展双纠错二元BCH码的码率相当。.(3) 基于有限域上的迹函函数和范函数，构造了一类参数是[q^2-1,4,q^2-q-2]的最优码，此类最优码的参数满足Griesmer界；研究了此类最优码的q_0元子域码，结果表明一些子域码的参数最优。其次，构造了一类参数是[q^2,4,q^2-q-1]的最优码，此类最优码的参数满足Griesmer界；研究了此类最优码的q_0元子域码，结果表明一些子域码的参数最优。特别地，利用上述线性码得到了五类2-设计。.(4) 研究了一些[q+1,2,q]MDS码的子域码，得到了一些最优或几乎最优码。.(5) 利用Oval多项式构造了若干类Near MDS码，精确给出了它们的重量分布。根据相关结果，可以得出它们二元子域码的参数。.此外，本项目还构造了一些MDS码、AMDS码、射影线性码等，并讨论了它们在t-设计、局部修复码、密钥共享等方面的应用。共发表学术论文17篇，其中SCI论文12篇，EI论文2篇，会议论文1篇，4篇论文发表在代数编码领域顶级期刊《IEEE Transactions on Information Theory》上。