有限域和有限环上具有特定代数结构的线性码类研究

The development of the theory of error-correcting codes is the theoretical basis for modern communication to implement the fast and complete transmission of information, and it is also a research hotspot to solve problems in cryptography by use of the theory of error-correcting codes. The project is organized as follows. (1) Let R be a finite field or a finite commutative ring and G be a metacyclic group. We study the structural properties and the construction of optimal codes for the special class of linear codes over R corresponding to left ideals of the group ring R[G]. (2) We investigate the structural properties, classification and the estimation of code parameters of constacyclic codes and quasi-twisted codes over residue class rings of integer rings and residue class rings of polynomial rings over finite fields, respectively. (3) We develop a theory for exponential sums over two special class of finite rings, calculate the weight distribution and the complete weight distribution of certain linear codes over these rings, and consider some applications in the construction of secret sharing schemes and authentication codes. Using module theory and skew polynomial theory over finite commutative rings and some useful methods in number theory, we expect to improve the theory and methods for linear codes provided with certain algebraic structures. New optimal codes and relevant results obtained are of important theoretical and application value.

纠错编码理论的发展为实现快捷、完整的现代通信提供理论基础，利用纠错码理论处理密码学中的问题是当前研究热点之一。本课题研究下列内容：(1) R为有限域或有限环、G为亚循环群，研究群代数R[G]的左理想所确定的R上特殊线性码类的结构性质和优化码的构造等问题；(2) 研究整数剩余类环和多项式剩余类环上常循环码和准扭转码的结构分类和参数估计等问题；(3) 发展两类有限环上的指数和理论，研究这两类环上特定线性码类的重量分布和完全重量分布，并应用于构造秘密共享方案和认证码等密码学领域。运用有限环上的模理论、斜多项式理论和数论方法，实现研究内容在理论和方法上的创新，获得新的优化码类及相关结果具有重要的理论和应用价值。

项目背景.研究有限域和有限环上的二面体群码和特定亚循环群码、各类常循环码和拟扭转码，获得更多优化的经典纠错码类，利用其中满足对偶特性和参数条件的代数码构造优化的量子纠错码、秘密共享方案、认证码等，给出线性码在量子通信与密码学中应用的新结果。.主要研究内容.1、研究左二面体码和左亚循环码的结构表示、自对偶特性和参数性质。2、当k≥3，研究环F_(p^m)[u]/<u^k>上Type 2常循环码的结构表示、对偶码和基本参数，给出Type 1常循环码的矩阵乘积结构；当k=2，研究Type 0常循环码和其中自对偶码的结构表示、构造方法和算法。3、研究环Z_(p^2)及其扩环上重根常循环码的结构表示、自对偶码的构造方法和算法。4、研究有限域和有限环上代数码的结构与参数性质、覆盖半径、渐进优性质及其在构造秘密共享方案、认证码和量子纠错码方面的应用。.重要结果及其科学意义.项目研究发表论文53篇，其中SCI检索48篇、EI检索5篇。2016年底和2020年在《IEEE Trans. Inform. Theory》的2篇论文，给出一类左亚循环码和自对偶非半单二元左二面体码的表示和构造方法。2018年在《Adv. Math. Commun.》的论文给出Type 0重根常循环码的框架理论；2020年在《Finite Fields Appl.》和《Discrete Math.》的3篇论文给出三类自对偶循环码的构造方法和算法。2019年在《Finite Fields Appl.》、《Discrete Math.》和《IEEE Access》的3篇论文建立环F_(p^m)[u]/<u^k>上三类Type 2常循环码的结构理论。2018年和2020年在《AAECC》和《Discrete Math.》的2篇论文给出两类重根常循环码的矩阵乘积结构。2019年在《Des. Codes Crptogr.》和2020年在《AAECC》的2篇论文给出环Z_4上两类自对偶循环码的构造方法和算法。2018年在《Finite Fields Appl.》、2020年在《Crptogr. Commun.》和2021年在《Adv. Math. Commun.》的3篇论文建立环Z_4 [v]/<v^2+2v>和Z_4[u]/<u^2>上的负循环码理论。论文成果、思想和方法可用于更多代数码类的研究。