最优低秩相关系数矩阵问题的回拉型可行方法

The nearest low rank correlation matrix problem, which originated in finance and also plays an important role in areas such as combinatorial optimization, machine learning, and data analysis, has been attracting increasing attention in the field of matrix optimization in recent years. Preliminary work shows that the original problem can be reduced to a normalization constrained optimization problem via the low rank factorization, and then some efficient feasible algorithms can be developed based on the manifold structure of its feasible region. The approach of retractions on the manifold, mappings from the tangent bundle into the manifold, is a key to feasible methods. The matrix exponential mapping is a classical retraction, but it is not readily computed. The project is planned to combine the exponential retraction with approximation techniques of matrix functions to construct efficient and easy-to-compute first order feasible iterative schemes, and meanwhile, to reveal profound relationships between matrix exponential approximants and retractions, and based on this, to design globally convergent feasible algorithms using multi-dimensional filter techniques. The project is of great importance to intensive exploration of algorithms for the nearest low rank correlation matrix and also gives new insights to research for optimization algorithms on manifolds.

最优低秩相关系数矩阵问题是近年来矩阵优化领域的研究热点，它来源于金融，同时在组合优化、机器学习、数据分析等领域也有重要作用。前期工作表明，利用低秩分解可将原问题简化为一个规范化约束优化问题，然后基于其可行域的流形结构，能发展出一些高效的可行算法。流形上的回拉方法是可行方法的关键，这是一种从切丛到流形的映射。矩阵指数映射是一个经典的回拉，但不易于计算。本项目拟将矩阵函数的逼近技术结合到指数回拉，构造出高效而简易的一阶可行迭代格式；同时，揭示矩阵指数逼近与回拉映射之间的深刻联系；并在此基础上，利用多维滤子技术设计出全局收敛的可行算法。本项目对于最优低秩相关系数矩阵算法的深入研究具有重要意义，也为流形上优化算法的研究提供了新视角。

最优低秩相关系数矩阵问题是近年来应用数学界非常关注的一个问题，不仅因其在利率衍生产品投资组合的价值评估和风险管理中具有重要应用，而且因其本身蕴含丰富的理论价值。由于可行域的复杂性，该问题在数值上不易求解。非光滑算法是一类传统方法，如孙德锋教授的majorized罚函数法和戚厚铎教授的半光滑牛顿法。另一类有效且新颖的方法是流形上的优化算法，因为可行域在Gram分解后可转化为若干球面的乘积。本项目通过对最优低秩相关系数矩阵问题的研究，开发出一些球面约束优化问题的一阶回拉型算法，进而将其推广到Stiefel流形上。需注意单位球面是特殊的Stiefel流形。.本项目第一个方面的贡献是发展了Stiefel流形上的梯度型算法：利用矩阵指数的Pade逼近构造出新的回拉映射，针对大规模高秩问题结合Lanczos算法建立了子空间梯度下降迭代格式。目前Stiefel流形上的回拉方法限于QR分解、极分解和凯莱变换三类。我们发现的矩阵指数Pade逼近形式的回拉映射丰富了这方面的理论。此外，高效求解大规模高秩矩阵优化问题一直是个非常困难的课题。我们采用的子空间方法给出了一种解决这类困难的新思路。这部分工作已向Optimization投稿。.本项目第二个方面的贡献是发展了Stiefel流形上的共轭梯度法：得到两个新的以凯莱变换式为关联回拉的向量运输公式及其低秩情形的简化形式，证明了第一种向量运输满足Ring-Wirth范数非扩张条件而第二种向量运输满足等距性，讨论了两种向量运输在几何与构造上的联系，并将戴彧虹教授的非单调共轭梯度法推广到了一般黎曼流形上。新的向量运输具有极其重要的理论价值，因为黎曼流形上共轭梯度法的全局收敛性取决于Ring-Wirt范数非扩张条件，然而传统的向量运输公式如QR分解与极分解的微分并不满足此条件。此外，数值结果也表明了新的向量运输在计算效率和稳定性两方面整体上优于现存所有基于QR分解与极分解微分的向量运输。这部分工作已在线发表于Computational Optimization and Applications。