矩阵秩与惯量函数最优化问题与应用的研究

The proposed research program of the applicant tries to establish a complete theory on optimizations of rank and inertia functions of several fundamental matrix-valued functions. The task includes two parts in both matrix optimzation theory and statistical applications: (1) derive various analytical expansion formulas for calculating ranks and inertias of matrices by using simultaneous decompositions, congruence transformations and generalized inverses； utilize the formulas obtained to solve rank and inertia maximization and minimization problems of some ordinary linear and quadratic matrix-valued functions and provide the corresponding computational methods and practical procedures. (2) Use the matrix optimization theory established to characterize cretain optmial behaviors of regression models in statistics, such as, admissability and consistency of linear, semi-linear, and non-parametric regression models, existence and deduction of implicit restrictions, estimability of unknown parameters, equivalence of different estimations, relations of full models and their sub-models, additive decompositions and block decomposition of estimations. The computational methods for finishing these tasks will be developed,which we believe will be greatly enrich the theoy of regression analysis.

本项目试图建立一套以矩阵秩和惯量为目标函数的优化理论,并开展这种优化理论在统计学中应用的研究.内容分为矩阵优化理论和统计应用两部分：（1）利用矩阵的联合分解，矩阵的对合变换和矩阵的广义逆等方法，建立一批常用的矩阵秩和惯量解析计算公式；推导出一批线性和非线性秩和惯量目函数最大最小值问题的解析解；给出这些目标函数取得这些最大最小值的计算方法和实用程序。(2）用上述方法研究回归分析中的模型和统计量的最优性质，包括各种线性、半线性、非线性回归分析模型的相容性；回归模型中参数的隐性约束；多余观测与缺失数据；参数的可估性；参数估计的唯一性；回归模型中参数不同估计量之间的等价性；正确及错误回归模型中估计量之间的关系；回归模型与其各种子模型之间的关系；回归模型中参数估计量的各种可加性分解与分块分解；开发相应的计算方法和应用程序。

矩阵秩与惯性指数是矩阵的基本数值特征，是反映矩阵性质核心要素。矩阵秩与惯性指数的优化问题已有近百年的历史，是数学理论与应用一个最具经典与现实意义的研究问题之一。由于矩阵秩与惯性指数皆为整数，传统的分析与数值方法难以得到该类整数型目标优化问题的精确解，所得到近似数值解均是阶段性结果，使用效果有限，难以形成经典而通用的理论结果。本项目申请人自1980年代起接触到到这类问题。经几十年的研究发展出了一整套建立矩阵秩与惯性指数解析计算公式的代数方法，并以此类方法为工具推导出了一批线性与非线性矩阵函数秩与惯性指数优化问题的解析解。这类解析解的建立几乎不需要任何附加条件，并具有明确的代数表现形式和方便的实用性，所以在数学理论和应用上有经典与原创意义和广泛的应用价值。在该项目立项的四年间，本人与合作者对项目中提出的研究课题进行了系统而完整的探索，得到了一有批原创的而系统的研究成果，完成并在国际学术杂志上发表了数十篇矩阵秩与惯性指数的优化问题以及其在数理统计方面应用学术论文，完成了项目计划书中设定的目标。该批文章发表后得到国内外学术同行的认可与引用。本人已有有过百篇次的论文被收录到国际著名出版社出版的教材、手册和工具书中。本人也是是ESI高被引论文作者，并入选2014和2015两年度爱思唯尔（Elsevier）发布的中国高倍引学者榜单。另一个标志性的体现是在美国普林斯顿大学出版社2017年即将出版的一本大型数学百科全书（近1600页）中引用了我本人1990年代以来发表的60篇学术论文，其中包含了2012-2016年间由该项资助的一批工作。在该书中，我本人论文引用总篇数第一、第一作者论文篇数第一、独立作者论文篇数第一。我本人崇尚中国古代先贤们倡导的简则易知、 简则易明、 简则易从、 简则易行的认知原则，做学术研究和发表论文的一个宗旨是：数学作为基础理论和其它学科使用的研究工具要让同行和使用者读的懂、记得住、用得上、留的下；不做故弄玄虚的假设、不做繁琐论述和冗长运算、不追求问题的高难深而迷失方向。数学知识经历了几千年的发展、得到的公式结论浩如烟海、多如繁星，能被收录到权威数学手册的都是精华所在和经典传世的知识，我为我的工作能被收录到此类工具书中而感到自豪。