Mobius群的离散性及形变理论

Mobius群理论近年来在Thurston、Sullivan、McMullen等著名数学家工作的推动下取得了蓬勃发展。本项目着眼于Mobius群的离散性及形变理论，寻找刻划自由离散群空间的参数，以及该参数空间特别是其边界的几何和拓扑性质；深入研究检验元的性质，得到新的组合定理；研究形变空间中群列的代数收敛与几何收敛的等价条件；研究复双曲离散群的基本域构造，并讨论对应于离散群的复双曲Fenchel-Nielsen坐标；同时刻画cross ratio variety上的几何结构。 这些都是本学科中重要的基本问题。这些问题的解决将很大程度的推动Mobius群理论的发展。

关于Mobius群的形变理论，首先建立了无限维双曲群的边界刚性定理，即给出了边界映射诱导的两个无限维双曲群间的同态为等距同构的一个遍历性充分条件。这一结果推广了P.Tukia发表在Invent. Math.上的有限维情形的刚性定理。我们的创新之处在于使用了不同的证明方法，同时需要指出的是：第一，原有的方法不适用于无限维情形（如紧性的缺失等困难）；第二，无限维双曲群近年来在几何群论中有着重要的应用。其次我们讨论了形变空间中的基本拓扑结构，特别是代数收敛和几何收敛这两种拓扑以及他们间的联系，即利用离散初等群的结构以及群表示论的理论，在n维条件下得到了较好的代数和几何收敛定理。.关于Mobius群的离散性，利用检验元得到了新的离散准则，即：令G为非初等群，若G中各元和某一检验元f生成的二元群离散，则G也离散，分检验元f是斜驶、抛物和有限阶椭圆三种情形。在这一工作的基础上，我们发现了共轭类元素在判别群的离散性上的重要性，这一点在前人的文章中没有涉及过。大致来说，群的离散性只取决于群中的某类元素，如，我们证明了对给定的非初等群G和某一抛物型Mobius变换f，若对任意G中元素g，f和fgf^{-1}生成的二元群离散，则G必定也离散。