有限及无限维Mobius群的离散性及其相关问题

This project aims at the following two aspects. Firstly, we plan to establish Jorgenson’s inequalities and new discreteness criterion by using conjugacy classes (especially of elliptic elements). We plan to study the properties of the moduli space of some planar triangle groups. We also plan to construct a discrete and non-faithful representation of Fibonacci group into PU(2,1), and give a new example of hyperbolic 3-manifold also admitting a spherical CR structure. Secondly, we plan to establish two boundary rigidity theorems in the infinite dimensional Mobius group case, and then study applications of these rigidity theorems to find more difference between the finite and infinite dimensional Mobius groups.

本项目的研究内容分为如下两个方面:.一是关于Mobius群的离散性问题及其应用。在高维Mobius群以及复双曲等距群PU(2,1)、PU(3,1)的情形，关于椭圆元素及其共轭生成的二元群建立Jorgenson型不等式，并在此基础上利用共轭类建立新的离散准则；研究某些特殊三角群的参数空间的性质；构造出大于8的偶数型Fibonacci群到复双曲等距群的离散非忠实表示，给出非平凡的可以同时赋予双曲结构和球面CR结构的3维流形的新例子；.二是关于无限维Mobius群的刚性定理及其应用。在无限维Mobius群的情形，分别从极限点集上群的遍历性作用以及相容映射的分析性质的角度，建立两个边界刚性定理，并在此基础上研究它们的应用，特别是发现更多的无限维Mobius群和有限维Mobius群的差别。

给出判别群离散的充分必要条件是数学中难以处理的一类典型问题，同时由于任意完备的实/复双曲流形都可以用离散等距群表示，因此离散性是本学科中一个重要的基本问题。在Jorgensen、Martin等工作的基础上，我们给出了有限维和无限维二元生成Clifford矩阵群离散的必要条件，即Jorgensen型不等式。特别是在椭圆和（非双曲）斜驶生成元的情形，我们对旋转角参数做了细致讨论，从而改进了Martin在Acta Math.的论文中的相关结果。充分性方面，我们推广了陈敏、杨世海等在实2维情形建立的离散判别准则，讨论了高维情形检验元素、共轭类与离散性之间的关系。这些工作后续被Gongopadhyay等进一步推广到了秩为1的双曲等距群的情形这些结果发表在《数学学报》上。我们还讨论了复双曲等距群PU(3,1)中的离散性问题，给出了一个生成元为Heisenberg screw parabolic情形的Jorgensen不等式，并利用等距群半径和等距群到平移轴的距离给出了单参数情形结果的几何解释。这些结果推广了蒋月评、Parker等发表在Math. Z.上在PU(2,1)情形的工作。.Mostow刚性定理是李群理论中里程碑式的结果。Tukia在Mobius群的情形从遍历刚性、乘子刚性的角度赋予了Mostow刚性定理新的研究角度。我们着重研究了有限维复双曲空间上的乘子刚性定理。复双曲等距变换的乘子测量了复双曲空间中向量在变换前后模长的伸缩程度。我们建立了如下刚性定理:设G和H是非初等复双曲等距群，h是G到H同态，若存在常数d，使得对于任意的G中复双曲等距变换g，都有:h(g)的乘子等于g的乘子的d次幂，则d必定等于1，即乘子保持不变。这一结果推广了Tukia发表在Comment. Math. Helv.上的在实双曲等距群中的乘子刚性定理。