关于有限偏差映射的极值问题的研究

The research project is concerned with the extremal problems for mappings of finite distortion and Kalaj's conjecture. The project will focus on three problems: Grotzsch-type problems, Nitsche-type problems and Kalaj's conjecture. These three topics will enrich the theories of quasiconformal mappings, Teichmuller spaces and harmonic mappings. We hope to research two Grotzsch-type problems with boundary conditions and no boundary conditions on the basis of complex analysis、 variation principle and differential equation, and use the study of Grotzsch-type problems to discuss Nitsche-type problems. Furthermore, we will discuss Kalaj's conjecture with the existence of a p-harmonic homeomorphism between two annuli and the extremal problems of Dirichlet energy between doubly connected domains.

本项目将致力于研究有限偏差映射的极值问题, 以及与此密切相关的Kalaj猜测。旨在解决三个方面的问题: Grotzsch型问题、Nitsche型问题和Kalaj猜测。这三个课题的研究必将丰富极值拟共形理论、Teichmuller 空间理论和调和映射理论。我们期望运用复分析、变分法和微分方程的方法研究考虑边界条件和不考虑边界条件两种情形的Grotzsch型问题，通过对这两种Grotzsch型问题的研究来讨论对应Nitsche型问题，进而讨论关于两圆环间p-调和同胚存在性问题的Kalaj猜测和双连通区域上Dirichlet能量的极值问题。

极值拟共形映射在Teichmuller空间理论很重要，近年来，这一理论被推广到有限偏差映射。因此，有限偏差映射类的极值问题具有广泛的背景。本项目致力于研究这类映射的极值问题并取得了一系列的进展。首先研究了一个新的Grotzsch型问题，进而讨论了圆环到圆环并对边界有一定的限制的一类有限偏差映射，得到螺旋拉伸映射为其问题的极值映射；其次，建立了在双连通Riemann曲面上取得ρ-Dirichlet能量最小的充要条件为Hopf-微分解析且在边界为实的；此外，对矩形到矩形的全偏差的极值问题的存在性和唯一性进行了研究。