二维随机几何图上的随机游走

Random geometric graphs have been the subject of a considerable research effort in the last two decades. Based on techniques from Percolation theory and generic chaining method, the aim of this research is to study the random walks on two dimensional random geometric graphs from the two aspects as follows: 1) to get the asymptotic result for the mixing time of the random walk; 2) to explore the asymptotic bound of the cover time of the random walk. These problems will enrich the results on random walks in random environment and lay strong theoretical background for the applications in other areas once solved.

随机几何图是当今数学界比较热门的一个研究课题，该模型已经广泛用于无线传感器、随机复杂网络以及社交网络分析等领域。本项目拟对二维随机几何图上的随机游走问题进行深入研究。借助于连续渗流理论和Generic Chaining技术，我们将着重探讨以下两个问题：1）二维随机几何图上的随机游走的耦合时间的逼近估计；2）二维随机几何图上的随机游走的覆盖时间的逼近估计。该课题的顺利完成将解决Cooper&Frieze(2011)关于随机几何图上随机游走方面的遗留问题，补充前人在随机几何图上随机游走的成果，丰富随机环境中随机游走理论，为其在其他领域的应用提供理论依据。

本项目的主要研究对象是二维随机几何图上的随机游走，并研究其相应的覆盖时和混合时的逼近性质。更具体来讲，本项目的初衷是希望借助概率论和基础数学中的相关的数学技巧，对二维随机几何图上的随机游走的覆盖时给出详细刻画，并给出相关阶的估计。本项目的难点在于，复杂随机机构在临界值处的相变特征，即图的结构会在参数临界值两侧展现出截然不同的性质。这就为二维随机几何图上的随机游走带来了极大的挑战性。..为了获得新的工具，尤其是热核估计以及相关算子的研究时，申请人及其合作者发展了direchlet空间中复对称Toeplitz算子的相关性质，并试着将相关理论应用于本项目的问题中。该方面的进展为讨论二维随机几何图上的随机游走的首达时的刻画和估计起到了极大的改进作用，以期在后续研究中起到更大作用。..其次，由于随机几何图的生成机制是基于几何距离的，因此很自然地会产生很多的相依（Dependency)结构。在讨论相关问题过程中，申请人发展了基于不同随机变量函数的协方差的泛函估计，为很多相依结构的变量的界给出了较好的估计。..尽管本项目并未如愿完全解决申请时所要得到的关于二维随机几何图上随机游走的覆盖时的精确刻画，作者在此方面的相关结果为以后该问题的继续研究提供了很好的理论基础和工具参考。