混沌体系统计性质的圈图展开分析

The study of nonlinear dynamical systems far from equilibrium needs to start directly from the equation of motion. The computation of averages of physical observables in these systems could be done through SRB measures. Cycle expansions express these quantities as weighted averages on limit cycles, which avoids the evaluation of complex measures on strange attractors. However, the ubiquitous non-hyperbolicity and non-uniformity may greatly slow the convergence of cycle expansions and the intricate orbital structure in a coupled nonlinear system with many degrees of freedom could fail the search for limit cycles. In this project, we will develop a systematic perturbation theory based on cycle expansions through analytic derivation and numerical computation, which will be used in various dynamical systems. The method is expected to overcome the difficulty caused by the non-hyberbolicity and non-uniformity and enable an efficient computation of physical averages in nonlinearly coupled chaotic systems with many degrees of freedom, forging a link with the traditional statistical physics.

远离平衡态的非线性物理体系性质的研究，需要直接从运动方程出发考察其动力学。 其中可观测量平均值的计算，可归结为相空间中SRB测度的求解。动力学圈图展开理论将混沌体系中物理量统计平均值表示为相空间中极限环上平均值之和，从而避免了复杂测度的计算。但是，广泛存在于各物理体系中的非双曲性和非均匀性破坏了圈图展开的快速收敛，而多自由度的耦合体系轨道结构的复杂性制约了极限环的搜寻。本项目结合理论分析、公式推导、数值计算等多种手段，系统地发展出一套基于圈环展开理论的微扰分析方法，并将之应用于复杂程度各异的动力系统，有效克服非双曲性或非均匀性给理论计算带来的困难，大幅提高具有大量自由度耦合系统中平均值的计算效率，并为研究开放体系与进一步联系传统统计物理奠定基础。

本项目结合理论分析、公式推导、数值计算等多种手段，基于圈图展开的思想和方法，提出了一系列分析和计算的新方法和新工具，应用于复杂程度各异的非平衡非线性·系统。我们的工作主要包括以下几个方面。首先，利用动力系统符号序列的唯一性，直接从时间序列出发对混沌系统的相空间进行划分，避免了传统方法中稳定流形的计算，为在较为复杂的系统中无遗漏搜寻所有短周期轨道奠定了基础；其次，基于Koopman算符刻画全局动力学的特点，跟踪其本征函数随参数或初始条件的变化，找出系统相变点或相空间中的重要不变结构，从而确定轨道的特征和圈环展开的可能收敛特性；第三，动力系统特别是时空延展系统中经常出现的连续对称性，破坏了动力系统的双曲性，使得圈图展开无法直接应用，我们设计了一套崭新约化方法，将系统相空间中的运动更加清晰地表达与分解，保证了周期轨道的完整搜寻和圈图展开的收敛性；第四，利用单元生化反应的解析解，按照圈图展开的基本原理，通过变分将高维随机系统统计分布成功展开，约化到低维非线性流形上，为生物细胞调控网络中带噪信号模拟与计算新方法的设计奠定了基础；第五，将圈图编码和搜寻拓展到了更一般的轨道，写出一个新框架，力图寻找量子自旋系统中最优控制路径，避免了常见算法中对易子空间的闭合困难，使得在给定总能量的情况下，系统可以最快地从一个态演化到目标态，为量子精确调控提供了理论支撑。