非局部薛定谔方程解的长时间行为的变分法研究

Nonlinear Schrödinger equation is a mathematical equation in quantum mechanics. The time-dependent equation belongs to dispersive evolution equations while the time-independent equation is elliptic. Although they are different in character, the two classes of Schrodinger equation have a close relationship with each other in their forms, the character of solutions and in the research methods... In this project, we innovatively put forward a genernal variational method combining the classical variational method and the concentration compactness principle with the dispersion-typical Virial estimates of the time-dependent Schrodinger equations. Following this research route, we will prove the existence of the blowup solutions of the inhomogeneous mass-critical Hartree equations, give the scattering results about the mass-supercritical Hartree equations and the fractional Schrodinger equations, and study the instability property of the standing waves of the fractional equations. Our methods are expected to have applications in other important problems.

源于量子力学的非线性薛定谔方程可以分为含时薛定谔方程和稳态薛定谔方程两大类，前者属于色散型微分方程，后者则是椭圆型微分方程。无论形式上、解的性态还是研究方法上，两类方程之间有着密切联系。..本项目将立足于此，将经典的变分和集中紧技术与色散方程自身的 Virial 型估计等特有方法相结合，创新性地提炼出“大变分”的研究框架，通过几类非局部薛定谔方程解的长时间行为的研究深度刻画稳态方程解的变分特征等性质对其产生的影响。具体研究内容包括：非齐次质量临界 Hartree 方程极小质量爆破解存在性，一般质量超临界指标的 Hartree 方程解的散射，分数阶薛定谔方程解的散射及非稳定性研究。本项目研究中使用的局部化技术和“大变分”思想方法具有一般性和延展性，极有可能应用到其它重要问题的研究中。

非线性薛定谔方程是量子力学中重要的数学模型，分为含时薛定谔方程和稳态薛定谔方程。两类方程无论是形式上、解的性态上还是研究方法上有着密切联系。本项目将立足于此将经典的变分和紧性技术与色散方程自身的Virial型估计等特有方法相结合, 提炼出“大变分”的研究框架, 发展了“集中紧-刚性”技术。通过几类非局部薛定谔方程解的长时间行为的研究深度刻画稳态方程解的变分特征对发展方程解的动力学及渐近性质的影响, 该方案是经典变分方法的提炼、应用和发展。项目组成员利用此方法研究了一系列解的存在性和长时间行为方面的结果，以及稳态方程的性质的描述。项目负责人在项目执行期间完成重要论文十余篇，其他参与人积极合作参与讨论，得到了重要的研究成果，具有理论和应用价值。