聚焦型质量超临界薛定谔方程的动力学性态

Schrodinger equations are the basic equations in quantum mechanics.The nonlinear Schrodinger equations,which have a profound physical background, play a key role in the nonlinear wave systems.Nowadays, it has become a research hotspot in partial differential equations. In this project,the dynamical behavior of the focusing mass-supercritical and energy-subcritical nonlinear Schrodinger equations will be studied. The main aim is to obtain the dynamical properties of the solutions of the Cauchy problems,including the divergence of the non-scattering global solutions,the limiting profiles of the threshold solutions,the concentration properties of the blow-up solutions,and the scattering results.The profile decompositions related to the concentration-conmpactness principle will be our main tool，which is the most important distinguishing feature in the study of the dynamical behavior of dispersive equations.The problems to be studied in the project are basical problems of the partial differential equations.The research results obtained will be helpful to understand the dynamical behaviors of the focusing Schrodinger equations,and it is expected to have applications in other nonlinear dispersive equations.

薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，而非线性薛定谔方程是非线性波动系统的核心，具有非常深刻的物理背景。关于非线性薛定谔方程解的长时间行为的研究目前已经成为偏微分方程中最为活跃的研究热点和难点之一。本项目将研究聚焦型质量超临界能量次临界非线性薛定谔方程的动力学性态。我们将通过考察和薛定谔方程初值问题相对应的椭圆问题的基态解的变分特征，运用源自集中紧的Profile分解技术来刻画方程解的动力学性质。具体研究内容包括：整体非散射解在无穷远时刻的发散性，门槛解关于时间演化的极限图景，有限时刻爆破解的集中效应，以及解的散射。集中紧以及与薛定谔方程具体形式相对应的线性、非线性Profile分解技术是我们将采用的主要研究工具，并且本课题将在该方法的应用方面取得一些突破性进展。本项目拟研究的问题是偏微分方程的基本问题，将促进人们进一步了解聚焦型薛定谔方程以及其它色散波方程的动力学性态。

本项目研究的主要内容是偏微分方程和非线性泛函分析领域中的热点问题，具有极为深刻的物理背景。项目主要研究了双调和薛定谔方程解的散射，质量超临界能量次临界薛定谔方程解的动力学行为，含有Hartree项的非线性薛定谔方程的稳定性非稳定性，分数阶薛定谔耦合系统极小能量解的存在性，带有临界指数的分数阶薛定谔方程解的集中性等内容，并取得了显著成果，负责人共在SCI期刊以第一作者发表五篇学术论文(其中一篇已被接受正待发表），质量较高，对相关内容的进一步研究起到铺垫的作用，具有应用价值。