偏微分和微分-差分系统的对称及其对称约化的准确、可信计算

经典李群方法已基本形成了比较系统和完备的一般理论，人们以往都是以经典李群理论为框架展开对非线性系统相关问题的研究，但其局限性和困难性已被逐渐认识。人们利用它所获结果大都是针对具体问题的比较零散的结果，对源于实际问题的新模型尚未能给出比较一般和系统的理论和方法。本项目将摒弃传统的从李代数到李群方法的限制，以逆向思维的方式来探索从李群到李代数的新理论和方法。符号计算可以得到问题精确的完备解。本项目将沿着该思路，基于符号计算展开非线性偏微分和微分-差分系统的对称、对称群和对称约化的准确、可信计算，同时给出其Maple实现软件包。该软件包可以：1)系统地给出若干非线性数学物理模型的对称和不同约束条件下的不同对称约化形式；2)帮助人们利用所获结果来构造其精确解、亦或解析近似解。这些结果的获得有助于揭示相关非线性现象的发生、发展和演化规律，为寻求灾害预报、避免和制定好的应对策略提供理论依据和分析手段。

本项目的研究结果包括四方面的内容：.1) 在从李群到李代数的理论和方法上取得重要成果。特别是突破了以往的从李代数到李群的传统方法的限制，成功给出了对非线性系统求一般对称群而不需要先求李代数的新的代数算法，基于该新方法给出了非线性微分系统的李点对称、李变换群构造及其对称约化的程序化实现方法，即符号计算方法。.2) 给出了用于构造非线性偏微分系统的李点对称、李变换群及其在不同对称约束条件下的不同的对称约化形式的自动推理软件包。.3) 研究了若干非线性微分系统，并给出了它们所拥有的丰富的结果。.4) 给出了用于消除决定无穷小的决定方程组的冗余项的等价项准则；更要的是实现了非线性偏微分系统在约化时的关键量，相似变量和相似形的自动获取以及约化时不同对称约束条件的自动过滤。