几何动量及几何嵌入的量子物理

Establishing quantum mechanics in finite thickness then letting the width of the thickness approach zero, we can find a momentum operator on the surface, and this is the so-called Geometric momentum, a novel quantum observable coined by the applicant in 2011, and gets recognized by international community. It depends on the extrinsic curvature, and offers a proper description of the momentum for particles constrained on the surface. Geometric momentum implies not only the necessity of extension of the geometrical framework of quantum mechanics from intrinsic to the extrinsic view of point, but also the necessity of an enlargement of the canonical quantization scheme. In consequence, it requires examining some fundamental quantum mechanical problems within the refined framework. This project explores the fundamental and open problems related to geometric momentum and geometric embedding. For instance, the enlarged canonical quantization scheme and its applications to some open problems such as compatibility between constrained motion and Dirac canonical quantization scheme (for constrained system), its possible application to the field quantization, and possible mesoscopic effects related to the geometric embedding, and even physical meaning of the embedding induced energy associated with cosmology, etc.

先在有限厚度内建立量子力学，然后让厚度趋于零，会给出的曲面内的动量算符，即几何动量，它是申请者在2011年在波动力学框架内发现、确认并命名的一个量子物理量，依赖于外曲率，是曲面上运动粒子动量的恰当描述，具有可观测的效应。已经获得国际上同行的初步认可。几何动量不仅提示量子力学的几何框架需要从内禀几何拓宽到外部观点，还提示量子化框架也需要扩张(我们称之为扩张的量子化规则或者理论)，进而需要在这个新的框架中来考察量子物理问题。本研究就将进一步考察几何动量的物理基础，系统研究其需要的几何框架和约束体系量子化基础，然后在新的框架内研究一些重大量子物理基础性问题。举凡：和几何动量相容的量子化规则问题；扩张的量子化规则及其在一些长期未解决问题上的应用例如约束运动和狄拉克(约束体系)正则量子化方案的相容性问题；几何动量在介观系统中的物理效应；扩张的量子化规则下的场量子化；几何嵌入所诱导能量的意义等。

几何动量及几何嵌入的量子物理是在本项目组提出的几何动量的基础上，进一步挖掘其在量子物理中的基础性意义，项目取得了突破性进展，体现在如下三方面。第一，对非相对性量子力学建立了几何动量和几何势能之间普适关系，彻底解决了超面上运动粒子的量子化困难。量子力学中最关键的物理量是所谓的哈密顿量，而对于约束在超面上的粒子而言，已经知道哈密顿量将多出一项几何势能项。以前人们循基本量子化条件法解决哈密顿算符的构造问题,不妨称之为基本法,但是在弯曲曲面上基本法,连动量形式都定不下来, 因此无法确定哈密顿的形式?。我们提出了扩张的量子化方案, 这种量子化方案依然在狄拉克量子化的框架内, 推广了基本法。进而发现，几何动量和几何势能都可以同时从这个条件中求解出来。至此，1957年确立的一个理论难题，获得彻底解决。论文发表后，国内外媒体给予很高的评价，产生了很好的社会效果。第二，对约束在超面上的相对性运动粒子，发现了几何动量的普遍形式，即广义协变几何动量。几何动量自然包括自旋，考察动量中自旋联络的结构，发现其中包含了规范场。通过扩张的量子化方案发现对于一些特定的曲面，例如球面等，几何势能为零。第三，当一个物体局限在曲线或者曲面上运动时，有内禀和外部两种描述方式。以往一直将这两种力分开研究并用不同的公式表达。我们证明了这两个力都可以统一在向心力公式中。而且不仅是统一了两个公式，而且证明了对任意维数中超面上粒子的运动，向心力定律普遍适用。