带双重临界指数和Hardy项的拟线性椭圆方程的解的存在性及多重性

The project will apply the variational methods and critical point theory , combined with nonlinear analysis techniques, to explore the existence and multiplicity of solutions for quasi-linear elliptic equations involving double critical exponents (critical Sobolev exponent and critical Hardy-Sobolev exponent) and Hardy term. The double critical exponents and the singularity of the Hardy potential will all bring the lack of compactness. Besides, there is an asymptotic competition between the energy carried by the two critical nonlinearities. Based on the existing literature, the project attempts to extend existing methods to avoid the domination of one term on the other and find new methods and techniques to overcome these difficulties to investigate the existence and multiplicity of solutions of this type equations , combining the classical methods such as Brezis-Nirengberg's technology, Lions' concentration-concentraction principle. In addition, this project may enrich the results for elliptic equations with critical exponents and Hardy terms, and may also promote the development of noncompact variational problems of this kind.

本项目将应用变分法和临界点理论，结合非线性分析技巧，探究带双重临界指数（Sobolev临界指数和Hardy-Sobolev临界指数）及Hardy项的拟线性椭圆方程解的存在性及多重性. 双重临界指数和Hardy项均会带来紧性的缺失，且两个临界项所携带的能量间产生的渐进竞争会影响解的存在性. 在已有文献的基础上，本项目拟通过延拓已有方法，克服两个临界项间的相互支配，并结合Brezis-Nirenberg技巧、Lions的集中紧性原理等经典方法，尝试寻求新的方法和技巧来克服这些困难，研究该类型方程解的存在性与多重性. 本项目可以进一步丰富带有带有临界指数和Hardy项的椭圆方程的研究成果，也可以推动这一类非紧变分问题的进一步发展.

椭圆型方程在物理、化学等学科领域中具有很强的应用背景，如Yang-Mills场、热离子放射理论等等. 这些问题大多涉及到非线性椭圆方程. 近年来，带有临界指数和Hardy项的（拟线性）椭圆方程一直是国内外研究的热点，这类问题面临许多新的挑战，如紧性的丧失，位势项的奇异性等等，克服这些困难都需要引入新的方法和技巧. 针对于以上原因，本项目主要是通过应用变分法和临界点理论，结合非线性分析技巧，延拓已有方法来研究带有临界指数和Hardy奇异位势的椭圆方程的解的存在性与多重性的问题，以丰富这方面的研究成果. 本项目的研究成果主要有：一, 通过一个新的方法来克服失紧性得到了一类带有临界指数和Hardy项以及非线性项的椭圆方程的正的Nehari型基态解的存在性. 该方法是一种行之有效的方法，可以用来处理相关的椭圆方程问题；二, 研究了一类对称性遭到破坏的拟线性椭圆方程的多解性，通过借用对偶方法和Rabinowitz扰动方法，得到了上述方程无穷多解的存在性结论. 目前，对于在对称性遭到破坏情形下对于椭圆型方程解的存在性的研究还是比较少的，已有的方法对该种对称性遭到破坏的方程也是无效的，本项目在这方面做出了一定的成果，推广和改进了现有的结论.