无理环面上偏微分方程KAM环面存在性研究

We are mainly concerned with the existence of KAM tori for a class of partial differential equations on irrational tori. More precisely, we will apply the Green's function estimates techniques developed by Bourgain [Geometric and Functional Analysis. 17 (2007) 682-706] and Bourgain-Kachkovskiy [Geometric and Functional Analysis. (2019) Online First] to study the existence of quasi-periodic and almost-periodic solutions for nonlinear Schrodinger equations and wave equations on irrational tori.

本项目旨在研究某些定义在无理环面上偏微分方程KAM环面的存在性。具体来说，我们拟利用由 Bourgain [Geometric and Functional Analysis. 17 (2007) 682-706]及Bourgain-Kachkovskiy [Geometric and Functional Analysis. (2019) Online First]发展的格林函数估计技巧来证明无理环面上非线性薛定谔方程及波方程拟周期解和几乎周期解的存在性。

偏微分方程KAM理论是哈密顿系统研究最核心且最具挑战性的课题之一，菲尔兹奖得主Bourgain，ICM报告人Kuksin、Eliasson等都在该领域做出过重要贡献。本项目旨在研究定义在无理环面上偏微分方程的KAM理论。与标准环面上方程相比，无理环面上偏微分方程线性化对应算子的谱变得极为复杂。澄清线性化算子谱性质是进一步证明非线性方程拟周期解存在性最核心的步骤之一，而线性化算子具有纯点谱是非线性方程存在拟周期解的必要条件。在本项目资助下，我们从线性化算子入手，利用基于多尺度分析的格林函数估计技术首先证明了一系列拟周期算子和随机算子的安德森局域化，在此基础上我们利用Birkhoff标准型方法得到了一些非线性薛定谔方程解的长时间稳定性和非线性局域化。我们的主要结果发表在GAFA、CMP、JAM、JFA、JDE等数学期刊上。