基于分布阶导数的黏弹性材料本构方程及其振动应用研究

In order to solve the problem arising in application to vibration for previous fractional constitutive equations, in this project the constitutive equations for viscoelastic materials based on distributed order derivatives and related vibration models are considered. Besides the Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives, we also use the newly proposed modified fractional derivative. In the models, the order of derivative serves as the integral variable and the order-weighting distribution functions are introduced, so the resulted integration includes the information of all the derivatives whose orders are taken in the integral interval. We will give the characteristics of the constitutive equations based on distributed order derivatives for the four types of viscoelastic materials, and discuss the superiorities of these constitutive equations over previous fractional constitutive equations. We will consider relaxation modulus, creep compliance, response to periodic excitation, energy dissipation, complex modulus and complex compliance, the restrictions on the model parameters and order-weighting distribution functions. The advantages of results for the three sorts of fractional derivatives will be compared. For viscoelastic fluids, we will investigate the Stokes first and second problems and the vibration flow in a pipe, including the instantaneous and steady responses and the effects of the excitation frequency in steady state. For viscoelastic solids, we will consider the natural frequencies, vibration model functions, resonance analysis, including the vibration analysis in the nonlinear case of the Duffing-type. The project will provide new models and methods for viscoelastic mechanics.

为解决以前的分数阶本构方程在振动应用中遇到的问题，本项目研究利用分布阶导数建立的黏弹性材料本构方程以及相关的振动模型。不仅使用Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数，也使用新提出的修正分数阶导数。在模型中，导数的阶作为积分变量，引入阶权分布函数，导致的积分包含了阶取在积分区间上的各阶导数的信息。我们将给出四类黏弹性材料的基于分布阶导数的本构方程的特征，并讨论这类本构方程比以前的分数阶本构方程所具有的优势。研究松弛模量，蠕变柔量，周期激励下的响应，能量耗散，复模量和复柔量，模型参数和阶权分布函数的限制。比较三种分数阶导数下结果的特点。对黏弹性流体，研究Stokes第一和第二问题、管中的振动流动，包括瞬态响应和稳态响应，稳态时的激励频率的影响。对黏弹性固体，研究固有频率，振型函数，共振分析，包括Duffing型非线性情形的振动分析。项目将为黏弹性力学提供新的模型和方法。

本项目研究利用分布阶导数建立的黏弹性材料本构方程以及相关的振动模型，使用的分数阶导数包括Riemann-Liouville型，Caputo型和Weyl型。Weyl分数阶导数适合用于稳态响应的研究。具体的研究内容包括如下。（1）将分布阶导数引入黏弹性流体的本构模型中，研究稳态震荡剪切流动。研究了半无限空间的流动问题和两平行平板间的流动问题，得到了利用权函数表示的稳态流动的解，结果有效地反映了模型的黏弹特性。（2）提出六参数分数阶本构模型。通过两个模型参数的不同取值，能够描述四类不同的黏弹体。基于热力学要求，讨论了储存模量，损失模量和损失因子，模型参数的取值范围。模型中的系数和阶能够有效地刻画松弛，蠕变，耗散和滞后这些黏弹特性。（3）提出了描述黏惯性的分数阶模型。研究了分数阶和分布阶振动方程在谐和激励下的稳态响应。分数阶导数能够贡献弹性和黏性，起到弹壶的作用，也能贡献黏性和惯性，起到惯壶的作用。引入黏性贡献，弹性贡献和惯性贡献的概念。（4）研究了分布阶导数系统的辨识问题。利用最小二乘法和广义逆在频率域中求解离散的阶权分布。（5）对分数阶震荡方程的脉冲响应的两个不同形式的解析解作了比较研究，两个解分别对小的和大的自变量收敛更快。（6）研究了常系数线性分数阶微分方程组和多项分数阶微分方程的初值问题、带Robin边界条件的分数阶常微分方程边值问题和分数阶Black-Scholes方程的求解。给出矩阵变量Mittag-Leffler函数的计算方法。. 分布阶振动模型包含了分数阶振动模型作为特例，更具有一般性。权函数的引入，使得模型参数的选择有了更大的自由，有望模型能够描述更为广泛的粘弹体和复杂流体。分数阶导数既能刻画材料的黏弹特性，也能体现材料的黏惯特性。权函数的选取能够有效地反应出黏性，弹性和惯性的强弱。