Monge-Ampere方程在乘子理想层中的应用

近来，萧荫堂，Demailly等利用分析工具来证明代数几何中的存在性问题，取得了巨大的成功。其要点在于：通过引入乘子理想层（multiplier ideal sheaves）的概念，将复流形上柯西黎曼算子的L2估计的分析结果，转化为该层的上同调的性质，进而导出线丛上截面的存在性。这样的存在性结果对代数簇的分类起着关键作用。乘子理想层的性质由线丛上的具有奇性的度量所决定，因此寻找合适的奇性度量是证明该类型结果的关键，一般是利用复分析的方法局部地构造奇性度量。Demailly曾利用Monge-Ampere方程构造奇性度量证明了Fujita型的结果，不过在其他存在性结果的证明中这样的方法还没有用到。近十年来人们对流形上方程的认识有了长足的进步，我研究的重点即利用偏微分方程，特别是Monge-Ampere型的方程构造特殊奇性的度量，灵活利用L2估计及乘子理想层来解决代数几何中的存在性问题。