分数阶反常扩散方程的随机表示及其在期权定价中的应用研究

Option pricing is one of the core issues in financial mathematics study. With the increasingly rapid economic growth, the anomalous phenomenon become more and more common in financial market. How to price the option under this phenomenon has become a hot problem. Since fractional anomalous diffusion equation is the important model to describe the anomalous phenomenon, firstly, we try to build the internal relation between fractional diffusion equation and stochastic process to get its stochastic representation. By constructing the stochastic simulation algorithm of the stochastic representation, we not only can simulate the trajectory of the particle in system，but also can simulate the approximated solution with Monte Carlo method，which offers us a new way to solve the fractional diffusion equation. Finally，We also apply the anomalous diffusion model to the financial market, and obtain the option pricing formula for assets under anomalous diffusion, which can cover the shortages of classical models and explain the complex economic phenomenon in real market. The study of this project offers a new way to solve the fractional diffusion equation, and its application to financial market has a strong theoretical and practical significance for financial product innovation and risk management under the new situation.

期权定价一直是金融工程研究的核心问题之一，随着经济的日益繁荣，金融市场上的反常现象也日趋常见，如何对反常下的期权进行定价是当前一个值得研究的问题。由于分数阶反常扩散方程是刻画反常现象的重要手段，本项目首先通过建立分数反常扩散方程与随机过程间的内在联系，得到方程的随机表示；接着，利用随机表示，构建模拟算法，不仅能模拟系统中粒子的样本轨迹，而且运用蒙特卡洛方法能模拟方程的近似解，这为求解分数阶反常扩散方程提供了一种新思路；最后，利用随机表示结果，将反常扩散模型应用到金融市场中，推导反常扩散下的期权定价问题，不仅能够在理论上弥补经典模型的不足，同时也能解释在真实市场中出现的复杂经济现象。项目的研究为求解分数阶反常扩散方程探索了一条新途径，同时也对新形势下的金融产品创新及风险管理有着较强的理论和现实意义。

分数阶微积分算子与整数阶微积分算子不同, 具有非局部性, 从而非常适合用来描述自然界中反常扩散现象，本项目主要研究分数阶反常扩散方程的随机表示及其在金融期权定价中的应用。一方面，本项目借助随机表示方法，建立分数阶反常扩散方程与随机过程间的内在联系，通过建立随机模拟算法，不仅能模拟系统中粒子的运动轨迹，可大大节约了实验成本，结合蒙特卡洛法，也能模拟出方程的近似解，为求解分数阶反常扩散方程提供了一种新思路；另一方面，本项目将由分数阶微积分描述的反常扩散模型应用到期权定价中，修正经典Black-Scholes期权模型下的几何布朗假设条件，并证明了该过程具备经典假设所不包含的金融特性，如自相似性、尖峰厚尾性、记忆性等，在此基础上推导期权定价模型，研究得出的原理、方法和结论不仅可以弥补经典期权定价模型的不足，解释真实市场中出现的复杂经济现象；同时，对金融理论的扩展有着一定的促进作用，对于进行新型期权产品的创新也有很好的实用价值。.在项目资助下，我们较好地完成了项目任务要求，共发表五篇高质量论文，培养两名硕士研究生，研究小组成员对本项研究所涉及的研究领域及相关研究领域有了进一步了解，为从事该研究领域打下进一步基础，同时也促进了该领域所在学科的发展。