复杂非线性系统的几个问题研究

It is very important to study the symmetry and exact solution of a complexty system. Recently, nonlinear research concerned about the low dimension to high dimension, continuous to discrete, integer dimension to fractal dimension and to stochastic system. Our research is about to study the symmetry and exact solution of the complexty system by using CK direct method, Darboux transformation and Hirota bilinear method. Our research include high dimensional system, discrete system, variable coefficient nonlinear system, fractal dimensional system and stochastic system which is very useful in probability and fiancial field. We can construct the soliton solution, double soliton solution, multiple soliton solution and Rogue solution and their evolution based on the discussion of the continuous and discrete symmetry of the complexity system. Our research not only supply a new method of obtaining exact solution of the nonlinear systems but also give the base of other nonlinear science.

复杂非线性系统的对称和精确解对于讨论和解决非线性现象具有重要的科学意义和实用价值。近年来，非线性的研究不但从低维到高维，而且从连续到离散，从整数维到分数维，还进一步到随机的范围。本项目旨在以原有的CK直接法，达布变换及双线性等方法的为基础推广来研究一些复杂非线性系统的精确解及相关特性。主要包括高维的非线性系统、离散系统、变系数非线性系统、分数维系统以及更进一步讨论一些在概率和金融中非常有用的随机微分方程。通过讨论它们的连续对称及离散对称，从而构造它们的单孤子解、双孤子解、多孤子解、Rogue解等各种类型的精确解，并研究这些解的演化。本项目不仅可以为求解非线性系统的精确解提供一种新的途径，还可以为其它非线性学科提供基础，有着重要的学术和实践意义。

复杂非线性系统的对称和精确解对于讨论和解决非线性现象具有重要的科学意义和实用价值。近年来，非线性的研究不但从低维到高维，而且从连续到离散，从整数维到分数维，还进一步到随机的范围。在本项目的支持一下，我们主要研究了几个复杂非线性系统的对称和精确解，包括(3+1)-维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程、（2+1）-维的Schwarz-Korteweg-de Vries方程、（2+1）-维的Jaulent-Miodek方程、分数维的Whitham-Broer-Kaup方程、变系数的Benjamin-Bona-Mahony-Burgers方程、（2+1）-维的Boussinesq方程、（1+1）-维的类Caudrey-Dodd-Gibbon-Sawada-Kotera方程、（1+1）-维的类shallow water wave方程、（2+1）维的shallow water wave方程等。讨论了它们的朗斯基解、三波解、对称、双曲函数解、有理函数解及lump解及其特性，这些结果对于光学、量子物理、流体力学等非线性科学具有重要意义。