完全非线性外蕴曲率流的几个问题

The classical theory of differential geometry is to study various geometric structures and properties on differentiable manifolds, independence of time. Extrinsic geometric flows are geometric heat flows which describe the evolution of embedded submanifolds, or more generally immersed submanifolds and are driven by their extrinsic curvatures. Its theory and research methods are widely used in differential geometry and modern physics. For instance, the famous Penrose inequality of general relativity can be proved by the method of inverse mean curvature flow. This project will focus on the following hot and difficult problems of extrinsic curvature flows：1. Closed convex hypersurfaces of the Euclidean space contracting to a point in direction of its inner unit normal vector and by a general smooth function depending only on the mean curvature; 2. Closed h-convex hypersurface of the hyperbolic space contracting to a point in direction of its inner unit normal vector, where the speed equals a smooth function depending only on the mean curvature; 3. The evolution of a closed hypersurface of the hyperbolic space under a mixed volume preserving flow, where the speed equals a power of homogeneous, either convex or concave, curvature functions of degree one plus a mixed volume preserving term; 4. Double mean curvature flows. The first three problems are put forward on the basis of previous chievements, while the fourth problem is a new research direction that we put forward. The solution of these problems has important scientific value both in theory of the modern differential geometry and in application of the theoretical physics.

经典微分几何研究弯曲空间的几何结构和性质, 然而时间不起作用. 而外蕴曲率流是一类将子流形由其外蕴曲率决定的随时间发展的几何热流. 它的理论与研究方法在微分几何学和现代物理学中有重要而广泛的应用. 例如，用逆平均曲率流的方法可证明广义相对论中的Penrose不等式. 本项目将着重研究如下外蕴曲率流的几个难点和热点问题：1. 欧氏空间中闭凸超曲面的沿仅依赖平均曲率的一般函子收缩流，特别是速度为平均曲率的双曲函数情形；2. 双曲空间中闭极限球面凸超曲面沿仅依赖平均曲率的一般函子收缩流；3. 双曲空间中沿混合体积保持的主曲率的一齐性对称函子的幂次流；4. 双平均曲率流. 前三个问题是在前人成果上提出的自然问题，第四个问题是我们自己提出的一个全新的研究方向. 这些问题的解决无论是在现代微分几何理论上还是在理论物理的应用方面均具有重要的科学价值.

一、背景.经典微分几何研究弯曲空间的几何结构和性质, 然而时间不起作用. 而外蕴曲率流是一类将子流形由其外蕴曲率决定的随时间发展的几何热流. 它的理论与研究方法在微分几何学.和现代物理学中有重要而广泛的应用. 例如，用逆平均曲率流的方法可证明广义相对论中的Penrose不等式. .二、研究内容 .1.欧氏空间中闭凸超曲面的沿仅依赖平均曲率的一般函子收缩流，特别是速度为平均曲率的双曲函数情形；.2.双曲空间中闭极限球面凸超曲面沿仅依赖平均曲率的一般函子收缩流；.3.双曲空间中沿混合体积保持的主曲率的一齐性对称函子的幂次流；.4.双平均曲率流..5..欧氏空间和双曲空间中超曲面依赖于支撑函数和曲率函数的扩张流；.6.用逆平均曲率流研究特征值的等周不等式；.7.空间形式的超曲面的非齐次曲率函数的收缩流；.8.洛伦茨积流形中的平均曲率类流. .9.欧氏空间中浸入弱星型常高阶曲率曲率超曲面等距于球面的刻画..三、重要结果.项目负责人郭顺滋取得如下结果：.1. 在科学出版社出版的一本30万字的英文专著，专著的课题涉及了微分几何学的研究热点. 本书系统总结了作者在快速发展的几何流领域取得的新的、有趣的及重要的研究成果. .2.以仅依赖于平均曲率的函数为速度且在速度函数满足适合的假设条件下，这些流保持闭凸超曲面的极限球面凸性并在有限的湮灭时间收缩到一点. 该结果发表在SCI收录的期刊上..3.在一定拼挤条件下，发展速度为关于主曲率对称、一齐性且严格单调递增的一般函数的高次幂，法向发展的凸超曲面保持初始曲率拼挤条件、任意时间存在且流向球面.该结果发表在SCI收录的期刊上..4.通过共形几何技术，对于闭可定向的黎曼流形上的光滑向量场， 导出了一个关于光滑向量场散度形式的极大值原理，并应用该极大值原理应用到欧氏空间中浸入弱星型超曲面上，得到了常高阶曲率曲率条件下超曲面等距于球面的刚性结果. 该结果发展了前人的结果， 结果已投稿SCI期刊，状态为审稿中.. 另项目组成员李光汉教授在研究内容的5-8方面取得了重要的进展，发表6篇SCI论文（有标注），其他成员发表5篇SCI论文.