新型双组份Camassa-Holm方程的等谱问题及适定性研究

In this project, we will study the isospectral problem of a clss of dispersionless two-component Camassa-Holm equation with peakon solutions and local well-posedness,blow-up scenario,global existence of strong solutions,global existence of conservative solutions and dissipative solutions,orbital stability of peakon solutions of new type two-component Camassa-Holm equations with high-order nonlinearities. It is a new topic, and a meaningful topic in mathematical theory and applied physics. We will apply some new ideas,new methods,semigroup theory, harmonic analysis, Littlehood-Paley decomposition, scattering and inverse scattering theory and finite differential format to study our project. We will give new methods to discuss global existence of strong solutions of new type two-component Camassa-Holm systems.

本项目拟研究来源于现代力学及物理学的一类具有尖峰解的无色散双组份Camassa-Holm方程的等谱问题和高次非线性项的新型双组份Camassa-Holm方程Cauchy问题的局部适定性、强解的爆破、强解的整体存在性、守恒解和耗散解的存在性，尖峰解的轨道稳定性。这是一个有意义的研究课题，也是在数学理论与物理学应用方面都有重要研究价值的课题，既具有相当的难度，又是该领域的研究热点。我们将应用一些新思想、新方法、结合半群理论、调和分析、Littlehood-Paley分解、散射及反散射理论、Banach空间上的微分方程理论以及设计有效的有限差分格式来研究该课题。提出一种讨论新型双组份Camassa-Holm系统强解整体存在的新方法，为研究其它双组份浅水波系统的相关问题提供新思路。

本项目主要研究了Camassa-Holm类浅水波方程解的相关问题。这些非线性偏微分方程问题来源于力学、物理学、天文学和材料科学等科学，具有重要的应用背景和理论价值。本项目的取得了以下研究成果：通过分析对于给定的x值曲率以及曲率和的符号的变化和应用最优控制理论，得到了Camassa-Holm方程类的浅水波方程孤立波解的演化行为以及最优性控制条件；研究了周期的双组份CH方程的初值问题，得到了方程解爆破的条件以及整体解存在的充分条件；对于两类Novikov方程基于方程所满足的物理守恒律设计了相应的能量守恒有限差分格式，并利用了离散能量法来对解的收敛性及稳定性进行讨论，此外还利用MATLAB设计相关程序得出数值模拟结果； 对于浅水波BBM型方程，通过对近似解的分析，证明了两个孤立波碰撞的非弹性特征 , 还用参数分析的方法研究BBM型方程的纯多孤立子的不存在性；应用线性链技巧、几何奇异摄动理论以及渐近性理论得到了几类反应扩散方程孤立波解和行波解的存在性、唯一性和渐近演化行为。